Tübitak Lise 1. Aşama 2023 Soru 28

[matematikolimpiyati]

Bir masa üzerinde $k,m$ ve $n$ bilye içeren üç öbek bulunuyor. İki oyuncu sırayla hamle yaparak bir oyun oynuyorlar. Sırası gelen oyuncu masa üzerindeki öbeklerden istediği ikisini seçiyor ve bu iki öbeğin daha az bilye içereninden daha fazla bilye içerenine istediği bir pozitif tam sayı adedince bilyeyi aktarıyor (seçilen öbeklerde bilye sayıları eşitse bilyeler öbeklerin herhangi birinden aktarılıyor). Hamle yapamayan oyuncu oyunu kaybediyor. Oyun $(k,m,n)=(9,9,21),(11,11,11),(9,10,31),(8,16,24)$ ve $(9,22,22)$ için birer kez oynanırsa oyuna başlayan oyuncu bu oyunlardan kaçını kazanmayı garantileyebilir?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 5$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Oyuna başlayan kişi $A$ olsun, diğer oyuncu $B$ olsun. $B$'nin yapabileceği en iyi hamlelerle bile kaybetmesini istiyoruz. $A$'nın kazanması, yani $B$'nin hamle yapamaması için iki öbekte hiç bilye kalmaması gerekir çünkü aksi takdirde boş olmayan iki öbeği seçerek hamlesini yapabilir. Bu yüzden $A$'nın kazanmayı garantileyebilmesi için $B$'nin bir hamlesi sonunda bir öbekte hiç bilye kalmamalıdır. Böylece $A$ da diğer iki öbeği seçerek dolu öbeklerden de birini boşaltır ve oyunu kazanır. Yani $B$'nin bir noktada bir öbeği boşaltması gerekecektir. Buna zorunda kalması için iki öbekte birer bilye kalmalıdır. Aksi takdirde birden fazla bilye olan öbekleri seçer ve öbeği sıfırlamak zorunda kalmaz. Yani bir noktada $B$'nin hamle yapması gerektiği öbekler $x>1$ için $(x,1,1)$ formatında olmalıdır.

Yani $A$'nın önünde tek bilyeli bir öbek kalırsa, diğer ikisini seçerek birini $1$'e düşürür (tabi halihazırda $1$ bilye olmaması lazım). Bu yüzden $B$'nin önünde $2$ tane $2$ kalmalıdır ki birini $1$'lemek zorunda olsun. Yani $x>2$ için $(x,2,2)$ formatında olmalıdır.

Bu şekilde geriye doğru ilerlersek $B$'nin önünde $x> y$ için $(x,y,y)$ formatında öbekler kaldığında $A$ kazanır. Aksi takdirde ise aynı taktiği $B$ kullanacağından $B$ kazanacaktır.

Dolayısıyla $(9,9,21)$ için $B$ kazanmayı garantiler.

$(11,11,11)$ için $A$, öbekleri $(11-x,11+x,11)$ yapar. $B$ ise bunları $(11-x,11-x,11+2x)$ yaparak oyunu kazanır.

$(9,10,31)$ için $A$, öbekleri $(9,9,32)$ yapar ve kazanır.

$(8,16,24)$ için $A$, öbekleri $(8,8,32)$ yapar ve kazanır.

$(9,22,22)$ için $A$ öbekleri $(9,9,35)$ yapar ve kazanır.

Dolayısıyla sadece $3$ tane durumda $A$ kazanmayı garantileyebilir.

[geo]

Cevap: $3$.
$a \leq b$ olmak üzere, kendi hamlesi sonucunda durumu $(a, a, b)$ haline getiren oyuncu her zaman kendi hamlesi sonucunda durumu yine benzer hale getirerek oyunu kazanmayı garantileyebilir. Sonuç olarak birinci oyuncu oyunu $(9,10,31),(8,16,24)$ ve $(9,22,22)$ durumlarında kazanmayı garantileyebilir.

Kaynak: Tübitak 31. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2023