Tübitak Lise 1. Aşama 2023 Soru 09

[matematikolimpiyati]

$O$ merkezli bir çember üzerinde alınan $A$ ve $B$ noktaları için $m(\widehat{AOB})=90^{\circ}$ dir. Çemberin küçük $AB$ yayı üzerinde alınan bir $C$ noktası ve $[OB]$ üzerinde alınan bir $D$ noktası için $m(\widehat{ACD})=90^{\circ}$ dir. $|AC|=30$, $|CD|=16$ ise $|BD|$ uzunluğu kaçtır?

$\textbf{a)}\ \sqrt{66}  \qquad\textbf{b)}\ 2\sqrt{34}  \qquad\textbf{c)}\ 3\sqrt{34}  \qquad\textbf{d)}\ 2\sqrt{66}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{B}$

$CD$ doğrusunu çizelim ve çemberi $C,E$ noktalarında kessin. Tales teoreminden, çapı gören çevre açı $90^\circ$ olduğundan $A, O, E$ doğrusaldır. Böylece $ADE$ ikizkenar üçgen olur. $ACD$ dik üçgeni; $8,15,17$ özel üçgeni ($2$ katı alınmış) olduğundan $|AD|=|DE|=34$ tür. $|CE|=16+34=50$ olduğundan $ACE$ dik üçgeninden $|AE|=10\sqrt{34}$ bulunur. Yarıçap uzunluklarından $|OA| = |OB| = |OE| = 5\sqrt{34} $ bulunur. $AOD$ dik üçgeninde Pisagor teoreminden $|OD|^2 = 34^2 - 25\cdot 34 = 9\cdot 34$ ve $|OD|=3\sqrt{34}$ bulunur. $|BD|=5\sqrt{34} - 3\sqrt{34} = 2\sqrt{34}$ olur.