Tübitak Lise 1. Aşama 2023 Soru 03

[matematikolimpiyati]

$x$ bir gerçel sayı olmak üzere, $4^x+7^x+8^x+10^x+14^x+15^x = 17^x+19^x$ denklemini sağlayan kaç tane $x$ sayısı vardır?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}$

[geo]

Bu çözüm hatalıdır. Aşağıda kırmızı ile yazılmış önerme yanlıştır.

Yanıt: $\boxed B$

Lemma: $a>1$ olmak üzere $f(x)=a^x$ fonksiyonu artan bir konveks fonksiyondur. İki konveks fonksiyonun toplamı yine konvekstir.

Calculus kullanarak lemmayı ispatlayabiliriz.
$f^{\prime}(x)=a^x\ln a >0$ olduğu için $f$ artandır.
$f^{\prime \prime }(x)=a^x\ln^2a>0$ olduğu için de $f$ konvekstir.
Bu şekilde iki fonksiyonun toplamının birinci ve ikinci türevi de pozitif olacağı için toplam fonksiyonunu da konveks olacaktır. $\blacksquare$

Calculus kullanmadan aynı durumu gözlemlemeye çalışalım.
$f(x)=4^x$ in grafiğini düşünelim. bkz. wolfram. Fonksiyonun artan ve konveks olduğunu kolayca görebiliriz. Konvekslik fonksiyonun daha hızlı artması anlamına gelir.
Şimdi de $f(x)=4^x+7^x$ in grafiğini düşünelim. $\epsilon >0$ olmak üzere; $x=x_0-\epsilon$, $x=x_0$, $x=x_0+\epsilon$ noktalarındaki değerlere baktığımızda $f(x)=4^x+7^x$ in de konveks artan olduğunu görebiliriz.

Yukarıdaki lemmayı kullanarak,
$g(x)=4^x+7^x+8^x+10^x+14^x+15^x$
$h(x)= 17^x+19^x$
fonksiyonlarının birer artan konveks fonksiyon olduğunu görürüz.
İki artan konveks fonksiyon ya hiçbir noktada kesişmez, ya da tek bir noktada kesişir. Aksi halde fonksiyonlardan birinin bazen konkav olması gerekir.
$g(0)>h(0)$ ve $g(1)>h(1)$ olduğu hemen görülebilir.
$x>1$ için $g(x)< 6\cdot 15^x$ ve $19^x<h(x)$.
Yeterince büyük $x$ ler için $6<\left ( \dfrac{19}{15} \right )^x$ olacaktır. (Örneğin $x>8$; ama ilgilenmiyoruz.) Dolayısıyla yeterince büyük $x$ ler için $g(x)<6\cdot 15^x<19^x<h(x)$ olacaktır.
$x=0$ da $g(0)>h(0)$ olduğu için bu iki artan konveks fonksiyon tam olarak bir noktada kesişir. O halde sorudaki denklemin tam olarak $1$ çözümü vardır.

Bu soruda bu değeri bulmamız istenmiyor; ama basit bir denemeyle $x=2$ in sağladığı görülebilir.

$g(x)$ ve $h(x)$ fonksiyonlarının grafiklerinin davranışlarını wolfram alpha yardımıyla gözlemleyebilirsiniz.

[Metin Can Aydemir]

İki artan konveks fonksiyon ya hiçbir noktada kesişmez, ya da tek bir noktada kesişir. Aksi halde fonksiyonlardan birinin bazen konkav olması gerekir.

$(0,1)$ aralığında $f(x)=x^2-1.2$ ve $g(x)=-\sqrt{1-x^2}$ fonksiyonları artan ve konvekstir. Ancak $f(x)=g(x)$'in $(0,1)$ aralığında $2$ kökü vardır.

[geo]

İki artan konveks fonksiyon ya hiçbir noktada kesişmez, ya da tek bir noktada kesişir. Aksi halde fonksiyonlardan birinin bazen konkav olması gerekir.

$(0,1)$ aralığında $f(x)=x^2-1.2$ ve $g(x)=-\sqrt{1-x^2}$ fonksiyonları artan ve konvekstir. Ancak $f(x)=g(x)$'in $(0,1)$ aralığında $2$ kökü vardır.

Evet. Doğru söylüyorsunuz.

[geo]

Yanıt: $\boxed B$

$x<0$ ise $17^x < 4^x$ ve $19^x < 7^x$ olacağı için $17^x+19^x < 4^x+7^x+8^x+10^x+14^x+15^x$ olacaktır. Yani denklemin negatif çözümü yoktur.
$x=0$ ın sağlamadığı kolayca görülür.

$x > 0$ olsun.
$17^x+19^x=a^x$ olsun.
$19^x<17^x+19^x=a^x$ olduğu için $19<a$ dır. (Her $x$ e karşılık bir $a>19$ gerçel sayısı bulunur. Başka bir deyişle; $a$, $x$'e bağlı bir fonksiyondur.)
$4^x+7^x+8^x+10^x+14^x+15^x=a^x$

$f(x)=\left ( \dfrac{4}{a} \right ) ^x +
\left ( \dfrac{7}{a} \right ) ^x +
\left ( \dfrac{8}{a} \right ) ^x +
\left ( \dfrac{10}{a} \right ) ^x +
\left ( \dfrac{14}{a} \right ) ^x +
\left ( \dfrac{15}{a} \right ) ^x
$ olsun.
$y=f(x)=1$ denkleminin pozitif çözümlerini arıyoruz.

$0<b<a$ ve $x>0 $ olmak üzere $g(x)=\left ( \dfrac ba \right )^x$ fonksiyonu azalandır (burada $a$ ve $b$'nin sabit sayı olmasına gerek yoktur). O halde $f(x)$ de azalandır.
$y=f(x)$ azalan fonksiyonu ile $y=1$ sabit fonksiyonu en fazla bir noktada kesişebilir.
$f(1)=\dfrac{4+7+8+10+14+15}{17+19} = \dfrac{58}{36} > 1$ ve yeterince büyük $x>x_0$ ler için $f(x)<1$ olduğu için $f(x)=1$ denkleminin tam olarak $1$ çözümü vardır.

Özel olarak bu denklemin çözümü $x=2$ dir. bkz. Wolfram Alpha

[geo]

Cevap: $1$.
Her tarafı $17^x$ ile bölersek, denklem $\left(\dfrac{4}{17}\right)^x+\left(\dfrac{7}{17}\right)^x+\left(\dfrac{8}{17}\right)^x+$ $\left(\dfrac{10}{17}\right)^x+\left(\dfrac{14}{17}\right)^x+\left(\dfrac{15}{17}\right)^x=1+\left(\dfrac{19}{17}\right)^x$ haline gelir. Sol taraf $x$'in azalan bir fonksiyonu ve sağ taraf da $x$'in artan bir fonksiyonu olduğu için, bu iki fonksiyon en fazla bir noktada kesişebilir. $x=0$ durumunda da sol taraf daha büyük, $x$ çok büyükken de sağ taraf daha büyük olduğu için ara değer teoreminden dolayı ortadaki bir değerde bir kök bulunmak zorundadır.

Kaynak: Tübitak 31. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2023