Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2023 Soru 31

[matematikolimpiyati]

$ab+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=4$ koşulunu sağlayan $a$ ve $b$ pozitif gerçel sayıları için $a+b$ en çok kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ \dfrac12  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac53  \qquad\textbf{d)}\ 2  \qquad\textbf{e)}\ 4$

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Denklemi kurcaladığımızda 1/a + 1/b= 4-ab ve a+b= ab(4-ab) yi elde ederiz ve burada ab= y der isek a+b= y(4-y) yi elde ederiz. Burada AGO uygular isek (y+4-y)/2 nin sqrt[y(4-y)] ye büyük eşit olduğunu buluruz. En büyük değer istiyorsak eşit olacaktır. Eşitsizliğin sol tarafında y'ler gidecektir ve 2 kalacaktır. sqrt[y(4-y)] en büyük 2 değerini alıyorsa a+b= y(4-y) de en fazla 4 olabilir. O zaman cevap 4'tür. Tabii burada a ve b nin pozitif gerçel sayı olmasi önemlidir, aksi hâlde AGO yapamazdık. Cevabımız E'dir.

Güncelleme: LaTeX bilmediğim zamanlardan kalma bir çözümdür bu. Ayrıca da çok uzatılmış , onun yerine $a+b=t$ olmak üzere

$$LHS=4=ab+\dfrac{t}{ab}\geq 2\sqrt{t} \Longleftrightarrow t\leq 4$$

olarak elde edilir.

[vedatde]

$ ab+1/a+1/b=4$  için,
$ (ab)^2+a+b=4ab$
$ (ab)^2-4(ab)+4-4+a+b=0 $
$ (ab-2)^2+a+b-4=0 $
$ a+b=4-(ab-2)^2  $
$ a+b $ nin en büyük olması için $ ab=2 $ olmalıdır.Bu durumda
$ a+b=4 $ olur.