Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2023 Soru 27

[matematikolimpiyati]

$x$ ve $y$ gerçel sayıları için $x^2(y^2+2)-x(2y-1)$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ -3  \qquad\textbf{b)}\ -2  \qquad\textbf{c)}\ -1  \qquad\textbf{d)}\ 0  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[ygzgndgn]

Cevap: $\boxed{E}$

Parantezler açılırsa
$$(xy)^2-2xy+2x^2-x$$
ifadesi elde edilir. 1 eklenip çıkarılırsa
$$[(xy)^2-2xy+1]+(2x^2-x-1)=(xy-1)^2 + (2x^2-x-1)=(xy-1)^2 + 2[x^2-\frac{x}{2}] - 1$$
ifadesi elde edilir. Köşeli parantez içindeki ifadeye $\frac{1}{16}$ eklenip çıkarılırsa
$$(xy-1)^2 + 2[x^2-\frac{x}{2}+\frac{1}{16}] - \frac{1}{8} - 1 = (xy-1)^2 +2(x-\frac{1}{4})^2 - \frac{9}{8}$$
elde edilir. Bu ifadenin en küçük değerini alması için parantez içlerinin 0'a eşit olması gerekir. Bunun için de $xy=1$ ve $x=1/4$ olmalıdır. İfadenin en küçük değerini almasını sağlayan $x$ ve $y$ değerlerinin $x=\frac{1}{4}$ ve $y=4$ olduğu görülür. İfadenin en küçük değeri ise $-\frac{9}{8}$ olur. Lakin bu şıklarda yoktur. Dolayısıyla cevabımız "Hiçbiri" olacaktır.