$P(x_0,y_0)$ ile $x\to x_0$ ve $y\to y_0$ dönüşümünü belirtelim.
$P(y,x)$ için $$f(x+y)-f(x)=g(x)f(y)$$ elde edilir. Ana denklemle taraf tarafa çıkartırsak, $$g(y)f(x)-f(x)=g(x)f(y)-f(y)\tag{1}$$ elde edilir. Ana denklemde $P(0,\cdot)$ uygularsak, $$g(y)f(0)=0$$ elde edilir. Eğer $f(0)\neq 0$ ise $g\equiv 0$ olacaktır ama yerine yazarsak $f(x+y)=f(x)$ elde edilir fakat bu da $f$'in artanlığı ile çelişir.
$f(0)=0$ olmalıdır. $f$ artan olduğundan $x\neq 0$ ise $f(x)\neq 0$ olduğu sonucu çıkar. $(1)$'de $P(0,\cdot)$ dönüşümü uygularsak, $(g(0)-1)f(y)=0$ bulunur. $y\neq 0$ olan bir değer koyarsak $g(0)=1$ bulunur.
Eğer $x_0\neq 0$ olan bir $x_0$ için $g(x_0)=1$ ise $P(x_0,y)$'den $$(g(y)-1)f(x_0)=0\implies g(y)=1$$ bulunur. Yani $g$ sabit olacaktır. Bu durumda $f(x+y)=f(x)+f(y)$ elde edilir. Cauchy fonksiyonel eşitliğinden, $f$ artan olduğu için, $c>0$ için $f(x)=cx$ bulunur. $\boxed{g\equiv 1}$ olabilir.
Eğer $0$ haricinde bir $x$ için $g(x)=1$ değilse, $x,y\neq 0$ için $(1)$'den $$\frac{f(x)}{g(x)-1}=\frac{f(y)}{g(y)-1}$$ olacaktır. Sol taraf sadece $x$'e bağlı, sağ taraf sadece $y$'ye bağlı olduğundan dolayı ikisi de sabit bir sayıya eşit olmalıdır. Buradan her $x\neq 0$ için $f(x)=c(g(x)-1)$ formatında bulunur. Bunu $x=0$ için de genişletebiliriz ve $c\neq 0$ olacaktır. $c$'nin işaretine bağlı olarak $g$ de artan veya azalandır. Ana denklemde yerine yazarsak, $$c(g(x+y)-1)-c(g(y)-1)=g(y)c(g(x)-1)\implies g(x+y)=g(x)g(y)$$ olacaktır. Bu da Cauchy fonksiyonel denkleminin özel bir durumudur. Çözümü ise $g(x)=e^{c_1x}$ şeklindedir. Yani $$f(x)=ce^{c_1x}-c$$ şeklindedir. $f$'in artan olması için $c_1$ ve $c$'nin işaretlerinin aynı olması yeterlidir.
Dolayısıyla $g\equiv 1$ veya $g(x)=e^{c_1x}$ formatında olmalıdır. $c_1=0$ durumu $g\equiv 1$'i vereceğinden sadece $A$ sabit sayısı için $\boxed{g(x)=e^{Ax}}$ diyebiliriz.
