2004 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 1 Soru 3

[matematikolimpiyati]

$p$ bir asal sayı ve $n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $np+1$ sayısı bir tamkare ise, $n+1$ sayısının $p$ tane tamkarenin toplamı biçiminde yazılabileceğini gösteriniz
(tamkarelerin farklı olması gerekmiyor).

[Metin Can Aydemir]

$np+1=x^2$ olsun. $x>1$'dir. $$np=x^2-1=(x-1)(x+1)$$ yazalım. $p\mid (x-1)$ veya $p\mid (x+1)$ olmalıdır. Ayrı durumlarda incelemek yerine $\varepsilon=\pm 1$ için $p\mid x+\varepsilon$ diyelim. Bu durumda $x\equiv -\varepsilon \pmod{p}$ olacağından $x=pk-\varepsilon$ yazalım. Buradan $$np=x^2-1=p^2k^2+\varepsilon^2-2\varepsilon pk-1=p^2k^2-2\varepsilon pk\implies n=pk^2-2\varepsilon k$$ $$\implies n+1=pk^2-2\varepsilon k+1$$ olur. Bu sayıyı da $$n+1=\underset{p-1\text{  tane}}{\underbrace{k^2+k^2+\cdots+k^2}}+(k-\varepsilon)^2$$ olarak yazabileceğimizden $n+1$'i $p$ adet tamkarenin toplamı olarak yazabiliriz.