Eşkenar üçgende Carnot ile ilgili bir eşitsizlik

[geo]

Kenar uzunluğu tam sayı olan $ABC$ eşkenar üçgeninin iç bölgesinde alınan $P$ noktasından $BC$, $CA$, $AB$ kenarlarına inilen dikmelerin ayakları sırasıyla $D$, $E$, $F$ dir. $BD=12$ ve $CE=5$ ise $AF$ nin alabileceği tam sayı değerlerin toplamı kaçtır?

[Lokman Gökçe]

Farklı bir soru olmuş, teşekkürler.


Çözüm: Eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğu $a$ olsun. $|AF|=x$ dersek $|BF|=a-x$, $|CD|=a-12$, $|AE|=a-5$ olur. Şekli takip edelim. $|BK|=6$ ve $|BK|<|BF|$ olduğundan $a>6+x$ olmalıdır. Yine $|CH|=2,5$ ve $|CH|<|CD|$ olduğundan $a>14,5$ tir.

Carnot teoreminden, $(a-12)^2 + (a-5)^2 + x^2 = 5^2 + 12^2 + x^2$ olup $3a=2x + 34$ elde edilir. $a$ bir çift sayıdır. Bu eşitliğe ve $2a>2x+12$ eşitsizliğine göre $3a<2a + 22$ olup $a<22$ bulunur. O halde $a \in \{ 16, 18, 20\}$ elde edilir. Buna karşılık $x \in \{ 7, 10, 13\}$ olup toplam,
$$ 7 + 10 + 13 = 30 $$
bulunur.

[geo]

Farklı bir soru olmuş, teşekkürler.

Çözüm: Eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğu $a$ olsun. $|AF|=x$ dersek

Rica ederim.

Çözümünüzde bir nokta eksik.
Şöyle bir ipucu vereyim: $x=4$ olduğunda $CD=2$ olur. Bu durumda $P$ üçgenin dışında yer alır.

[Lokman Gökçe]

Çözümde düzeltme yaptım, umarım başka hatam yoktur 

[geo]

Cevabınız doğru.
Çözümde belki en az bir tane daha eşitlik kontrolü yapmanız gerekiyor olabilir. Örn. $BD=5$, $CE=12$ durumu için soruyu çözdüğünüzde sizin uyguladığınız eşitsizlikler eksik kalıyor olabilir. (İlginç bir şekilde $BD=5$, $CE=12$ sorusunun cevabı daha farklı çıkıyor.)

[geo]

Ben de genel çözümü vereyim.

$BD=x$, $CE=y$ ve $AF=z$ ve $AB=BC=CA=a$ olsun.

Önce Carnot Teoremi'ni ve eşkenar üçgendeki sonucunu hatırlayalım:

Carnot Teoremi: $CD^2 + BF^2 + AE^2 = BD^2 + CE^2 + AF^2$

İspat: $BP^2 - CP^2$, $CP^2 - AP^2$, $AP^2 - BP^2$ farklarını yazıp taraf tarafa toplayalım.
$ 0 = BD^2 - CD^2 + CE^2 - AE^2 + AF^2 - BF^2 \Longrightarrow CD^2 + BF^2 + AE^2 = BD^2 + CE^2 + AF^2$. $\blacksquare$

İddia: $x+y+z = \dfrac {3a}2$

İspat: Carnot uygularsak $(a-x)^2 + (a-y)^2 + (a-z)^2 = x^2 + y^2 + z^2$.
$3a^2 = 2a(x+y+z) \Rightarrow x+y+z = \dfrac {3a}2$. $\blacksquare$

Bu sonuçları problemimizde uygularsak
$$CD = \dfrac {2y+2z - x}{3}, \quad AE = \dfrac {2x+2z - y}{3}, \quad BF = \dfrac {2x+2y - z}{3}$$ elde ederiz.

$D$ noktasından $AB$ ve $AC$ ye inilen dikmelerin ayakları sırasıyla $D_C$ ve $D_B$ olsun. Benzer şekilde $E_A$, $E_C$, $F_B$, $F_A$ noktalarını tanımlayalım.
$BF > BD_C$, $CE > BD_B$, $CD > CE_A$, $AF > AE_C$, $AE > AF_B$ ve $BD > BF_A$ olacaktır.

$$BF > BD_C \Longrightarrow \dfrac {2x+2y-z}{3} > \dfrac {x}{2} \Rightarrow 0 < x + 4y - 2z \Rightarrow \boxed {z < \dfrac {x+4y}{2}} \tag{1}$$ $$CE > BD_B \Longrightarrow y > \dfrac {2y+2z - x}{6} \Rightarrow 0 < x + 4y - 2z$$
$$CD > CE_A \Longrightarrow \dfrac {2y+2z-x}{3} > \dfrac {y}{2} \Rightarrow 0 < y + 4z - 2x \Rightarrow \boxed {z > \dfrac {2x-y}{4}} \tag{2}$$ $$AF > AE_C \Longrightarrow z > \dfrac {2x+2z - y}{6} \Rightarrow 0 < y + 4z - 2x$$
$$AE > AF_B \Longrightarrow \dfrac {2x+2z-y}{3} > \dfrac {z}{2} \Rightarrow 0 < 4x + z - 2y \Rightarrow \boxed {z > 2y-4x} \tag{3}$$ $$BD > BF_A \Longrightarrow x > \dfrac {2x+2y - z}{6} \Rightarrow 0 < 4x + z - 2y$$

Elde ettiğimiz eşitlikleri birleştirirsek $\boxed {\max \left (\dfrac {2x-y}{4}, 2y-4x \right) < z < \dfrac {x+4y}{2}}$ elde ederiz.

$x=12$, $y=5$ için eşitsizlik $$\dfrac{19}{4}< z < 16$$ şekline dönüşür.
Tam sayı şartlarını uygularsak $5 \leq z \leq 15$ elde ederiz.
Aynı zamanda üçgenin kenarı da tam sayı olduğu için $BF=\dfrac{2x+2y-z}{3} = \dfrac{34-z}{3}$ de tam sayı olmalıdır. $z \equiv 1 \pmod 3$ olmalı.

O halde aradığımız $z$ değerleri $\{7,10,13\}$ ve bunların toplamları $7+10+13 = 30$ olacaktır.