İki eşitliği taraf tarafa toplarsak $x^2-z^2=yz+zx$ elde ederiz. Dolayısıyla bizim sadece $yz+zx=xy$ veya düzenlersek, $\frac{1}{z}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ veya $\frac{y}{z}=\frac{y}{x}+1$ olduğunu göstermemiz yeterlidir. Denklemlerde her tarafı $y^2$'e bölelim ve $\frac{x}{y}=a$, $\frac{z}{y}=b$ diyelim. $a,b\neq 0$'dır. Göstermemiz gereken eşitlik ise $\frac{1}{b}=\frac{1}{a}+1$ veya $a=\frac{b}{1-b}$ olduğudur. $$\frac{x^2}{y^2}-1=\frac{z}{y}\implies a^2-1=b$$ $$1-\frac{z^2}{y^2}=\frac{zx}{y^2}\implies 1-b^2=ab\implies a=\frac{1-b^2}{b}$$ İki eşitliği birleştirip $a$'yı yok edersek, $$\left(\frac{1-b^2}{b}\right)^2-1=b\implies (1-b^2)^2-b^2=b^3\implies b^4-b^3-3b^2+1=(b+1)(b^3-2b^2-b+1)=0$$ $b=-1$ ise $a=0$ olacağından $b^3-2b^2-b+1=0$ olmalıdır. $$b^3-2b^2-b+1=(1-b^2)(1-b)-b^2=0$$ olduğundan $$\frac{1-b^2}{b}=\frac{b}{1-b}\implies a=\frac{1-b^2}{b}=\frac{b}{1-b}$$ buluruz ki, bu da aradığımız eşitliktir. Dolayısıyla ilk ispatlamaya çalıştığımız eşitsizlik doğrudur, $x^2-z^2=xy$'dir.
