1999 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 1-2 Soru 3

[matematikolimpiyati]

$a,b,c$ ve $d$ herhangi pozitif reel sayılar olmak üzere,
$$\dfrac{1}{a+b+c+d} \leq \dfrac{1}{64} \left( \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{4}{c} + \dfrac{16}{d} \right)$$
eşitsizliğinin sağlandığını gösteriniz.

[geo]

$AO \ge HO$ dan $$\dfrac{a+b+c+d}{8} =  \dfrac{a+b+\frac c2 +\frac c2 +\frac d4 +\frac d4 + \frac d4 +\frac d4 }{8} \ge \dfrac {8}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{2}{c} + \frac{2}{c} + \frac{4}{d}+ \frac{4}{d}+ \frac{4}{d}+ \frac{4}{d}} = \dfrac {8}{\frac 1a + \frac 1b + \frac 4c + \frac {16}d}$$

Eşitlik $a=b=\dfrac c2 = \dfrac d4$ iken sağlanır.

[geo]

$a,b,c$ ve $d$ herhangi pozitif reel sayılar olsun. Bu takdirde ($\dfrac {x}{y} + \dfrac {y}{x} \geq 2$ eşitsizliği kullanılarak), $$(a+b+c+d)\left (\dfrac 1a + \dfrac 1b + \dfrac 4c + \dfrac {16}d \right ) = 22 + \left ( \dfrac {a}{b} + \dfrac {b}{a} \right ) + 2\left ( \dfrac {2a}{c} + \dfrac {c}{2a} \right )+ 4\left ( \dfrac {4a}{d} + \dfrac {d}{4a} \right )+ 2\left ( \dfrac {2b}{c} + \dfrac {c}{2b} \right ) \\ + 4\left ( \dfrac {4b}{d} + \dfrac {d}{4b} \right )+ 8\left ( \dfrac {2c}{d} + \dfrac {d}{2c} \right ) \\ \geq 22 + 2 + 4 + 8 + 4 + 8 + 16 = 64.$$
Eşitlik durumu, örneğin, $a$ herhangi bir pozitif reel sayı olmak üzere $b=a$, $c=2a$, $d=4a$ alındığında elde edilir.

Kaynak: Matematik Dünyası 1999, Sayı 3, Sayfa 24.

[geo]

Cauchy-Schwarz-Bunyakovski eşitsiziğinden
$$\begin{array}{rcl}
(a+b+c+d)\left ( \dfrac 1a + \dfrac 1b + \dfrac 4c + \dfrac {16}d \right ) &\geq & \left ( \sqrt a \dfrac 1{\sqrt a} + \sqrt b \dfrac 1{\sqrt b} + \sqrt c \dfrac 2{\sqrt c} + \sqrt d \dfrac 4{\sqrt d} \right )^2 \\ &=& (1+1+2+4)^2 = 8^2 = 64
\end{array}$$

Çözenler: Ali Cevahir, Sabri Yılmaz, Serhat Doğan

Kaynak: Matematik Dünyası 1999, Sayı 3, Sayfa 24.

[geo]

Hem Matematik Dünyası Dergisi'nde hem de Tübitak tarafından yayınlanan Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları Sorular ve Çözümler 1996-2005 kitabında yanlış bir çözüm yer almakta:

Aritmetik ve geometrik ortalamalar eşitsizliğinden: $$a+b+c+d \geq 4 \sqrt[4]{abcd}$$ $$\dfrac 1a + \dfrac 1b + \dfrac 4c + \dfrac {16}d \geq 4\sqrt [4]{\dfrac {64}{abcd}} = 16\sqrt [4]{\dfrac {1}{abcd}}$$ Taraf tarafa çarparsak, istenen sonuç çıkar.

Bu çözümün eşitlik durumu ile diğer çözümlerin eşitlik durumları çelişiyor. Bu çözümde eşitliğin sağlanması için $a=b=c=d$ olması gerekiyor.
Çözümdeki sorun $\sqrt[4]{64}=2\sqrt [4]{4}=2\sqrt 2 \neq 4$ şeklinde bir işlem hatası yapılması.