1999 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 1-2 Soru 1

[matematikolimpiyati]

Ondalık gösterimdeki bütün rakamları aynı olan ve $k \in \mathbb N$ olmak üzere $1+1999k$ biçiminde yazılabilen sonsuz çoklukta doğal sayı bulunduğunu gösteriniz.

[geo]

$N = a(1 + 10 + \dots + 10^{m-1}) = \dfrac {a(10^m - 1)}9 = 1999k + 1$

$9N = a(10^m - 1) = 9\cdot 1999 k + 9$ olacak şekilde $(a, m, k)$ sayılarının olduğunu göstermemiz isteniyor.

$(10, 9\cdot 1999) = 1$ olduğu için $10^d \equiv 1 \pmod {9\cdot 1999}$ şeklinde bir $d$ sayısı vardır. (En azından $d \mid \varphi(9\cdot 1999)$ olduğunu biliyoruz; ama ilgilenmiyoruz.)
Her $r \in \mathbb Z^+$ için $10^{dr} \equiv 1 \pmod {9\cdot 1999} \Rightarrow 10^{dr + 1} \equiv 10 \pmod {9\cdot 1999}$.
$m = dr + 1$ ve $a=1$ için $9N = 1\cdot (10^{dr+1} - 1) = 9\cdot 1999 k + 10 - 1 = 9\cdot 1999 k + 9$ olduğu için ispat biter.

$dr$ basamaklı $N=11\dots 1$ sayıları istenen sayılardır.

[geo]

$m-1$ basamaklı $N = 99\dots 9 = 10^m - 1 = 1999k + 1$ olacak şekilde $(m,k)$ sayıları var mıdır?

$10^{m} \equiv 2 \pmod {1999}$ olacak şekilde $m$ sayılarını arıyoruz.

$10^{m+3} \equiv 2 \cdot 1000 \equiv 1 \pmod {1999}$ ve $1999$ asal sayı olduğu için $m \equiv 1995 \pmod {1998}$ şeklindeki $m$ sayıları aradığımız sayılardır.

Bu durumda her $r \in \mathbb Z^+$ için $1998r - 3$ basamaklı $99\dots 9$ sayısı $1999k+1$ formunda yazılabilir.

[geo]

Her $p > 5$ asal sayısı için bütün rakamları $1$ olan ve $1+1999\cdot (tp)$, $t \in \mathbf N$, biçiminde yazılabilen bir sayı bulunduğunu göstermek yeter.
Bunun için, $$a_1 = 1, a_2=11, a_3=111, \dots, a_k = \underbrace{11\dots 1}_{k \text{ tane}}, \dots$$ dizisini düşünelim. Eğer bu dizinin terimlerinden biri $1999\cdot p$ ile bölünüvorsa bu terimin $10$ katının $1$ fazlası istenilen türde bir sayıdır. Aksi halde, bu dizinin $1999\cdot p$ 'ye eşit kalanla bölünen en az iki terimi vardır (Neden?). Böyle iki terimin farkı $$(11\dots 1)\cdot 10^a = A\cdot 10^a$$ biçiminde bir sayı olacak ve $1999\cdot p$ 'ye bölünecektir. $10^a$ ve $1999\cdot p$ aralarında asal olduğundan, bu farkın diğer çarpanı $A=11\dots 1$ $1999\cdot p$ 'ye bölünmelidir. $A = (1999\cdot p) \cdot s$, $s \in \mathbf N$.
Şimdi, $10A + 1 = 1 + 1999\cdot (10ps)$ sayısı istenilen türde bir sayıdır. Sonsuz çoklukta asal sayı bulunduğundan, bu tür sayıların sonsuz çoklukta olacağı açıktır.

Kaynak: Matematik Dünyası 1999, Sayı 3, Sayfa 22.

[geo]

Fermat Teoremine göre, $$10^{1998} \equiv 1 \pmod {1999}$$ ve dolayısıyla, her $k \in \mathbf N$ için $10^{1998k} \equiv 1 \pmod {1999}$. Böylece her $k \in \mathbf N$ için $$1999m = 10^{1998k} - 1 = \underbrace{99\dots 9}_{1998k}$$ sağlanacak biçimde bir $m \in \mathbf N$ ve dolayısıyla, $$1999n = \underbrace{11\dots 1}_{1998k}$$ sağlanacak biçimde bir $n \in \mathbf N$ vardır. Her tarafı $10$ ile çarparak $1$ eklersek ve $10n=t$ dersek, $$\underbrace{11\dots 1}_{1998k+1} = 1999t + 1$$ elde ederiz. $k$ yerine herhangi doğal sayı konulabileceğinden, böyle sayılar sonsuz çokluktadır.

Çözenler: Serhat Doğan, Sabri Yılmaz, Mustafa Bal, Ahmet Çetintaş.

Kaynak: Matematik Dünyası 1999, Sayı 3, Sayfa 22.

[geo]

$$10, 110, 1110, 11110, \dots$$ dizisine bakalım. Bu dizinin en az bir terimi $1999$ ile tam bölünür; çünkü, aksi halde, bu dizinin en az iki teriminin $1999$ ile bölünmesinden elde edilen kalan aynı olur. Bu tür iki terim $$A=\underbrace{\overline{11\dots 10}}_{n + 1}, \text { ve } A=\underbrace{\overline{11\dots 10}}_{k + 1}$$ ise $(k<n)$, o takdirde, $$A-B = A=\overline{\underbrace{11\dots 1}_{n -k}\underbrace{00\dots 0}_{k+1}}$$ sayısı $1999$ ile tam bölünür; $1999$ asal olduğundan, $\overline {\underbrace{11\dots 1}_{n -k + 1}0}$ sayısı $1999$ ile tam bölünür. Çelişki. O halde, verilen dizinin $1999$ ile tam bölünen $u+1$ basamaklı bir $a=11\dots 10$ terimi bulunduğunu söyleyebiliriz. Bu takdirde, $s+1 = 1999k + 1$, $k \in \mathbf N$ biçinindedir. Şimdi, her $t \geq 1$ için $ut + 1$ basamaklı $$s_t = \underbrace{11\dots 1}_{ut+1}$$ sayısını düşünürsek, $s_0 = s/10$ olmak üzere $s_t = 10^{u(t-1) + 1}s_0 + 10^{u(t-2) + 1}s_0 + \dots + 10^1s_0 + 1$ sayısının da $1999k_t + 1$, $k_t \in \mathbf N$ biçiminde olduğu görülür.

Çözen: Alp Şimşek

Kaynak: Matematik Dünyası 1999, Sayı 3, Sayfa 23.