1998 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 1-2 Soru 5

[matematikolimpiyati]

Aşağıdaki denklem sistemini (reel sayılar kümesinde) çözünüz:
$$\left\{ \begin{align*}  x_1 + x_2 &= x_3^2 \\ x_2 + x_3 &= x_4^2 \\ x_3 + x_4 &= x_1^2 \\ x_4 + x_1 &= x_2^2\end{align*} \right.$$

[geo]

Denklem sistemi simetrik olduğu için $x_1 \geq x_2 \geq x_3 \geq x_4$ kabul edelim.
$x_1+x_2=x_3^2\geq 0$ olduğu için $x_1\geq 0$.
Benzer şekilde $x_2+x_3=x_4^2\geq 0$ olduğu için $x_2\geq 0$ ve $x_3+x_4=x_1^2\geq 0$ olduğu için $x_3\geq 0$.
$3.$ eşitlikten $4.$ eşitliği çıkarırsak $(x_3+x_4)-(x_4+x_1)=x_1^2-x_2^2 \geq 0$,  dolayısıyla $x_3 \geq x_1$ elde ederiz. Başlangıçtaki kabul ile birleştirdiğimizde $x_1=x_3$ olur.
Bu durumda $3.$ ve $4.$ eşitlikler birbirine eşit olur ve $x_1=x_2$ elde edilir.
$3.$ eşitlikten $x_4=x_1^2-x_3=x_3^2-x_1=x_2=x_1$ elde ederiz
$x_1=x_2=x_3$ eşitliğini $1.$ denklemde yerine yazarsak $x_1=2$ ya da $x_1=0$ elde ederiz.
O halde denklem sisteminin$(0,0,0,0)$ ve $(2,2,2,2)$ şeklinde iki çözümü vardır.

[Metin Can Aydemir]

Denklem sistemi simetrik olduğu için $x_1 \geq x_2 \geq x_3 \geq x_4$ kabul edelim.

Sistem simetrik değil çembersel, mesela $(x_1,x_2,x_3,x_4)\to (x_2,x_1,x_4,x_3)$ yazarsak sistem
\begin{align*}  x_1 + x_2 &= x_4^2 \\ x_1 + x_4 &= x_3^2 \\ x_3 + x_4 &= x_2^2 \\ x_2 + x_3 &= x_1^2\end{align*} olur ve bu yeni sistem eski sistemden farklıdır. Ancak $(x_1,x_2,x_3,x_4)\to (x_2,x_3,x_4,x_1)$ gibi çembersel bir dönüşüm yaparsak sistem değişmez. Çembersellikten sadece en büyük elemanı veya en küçük elemanın genelliği bozmadan $x_1$ olduğunu kabul edebiliriz.

[geo]

Düzeltme için teşekkürler.

[geo]

Sistemin en büyük elemanı $x_1$ olsun.

$4.$ eşitlikten $3.$ eşitliği çıkarırsak $$0 \leq x_1-x_3=x_2^2-x_1^2 = (x_2-x_1)x_3^2 $$
$x_3 \neq 0$ olsun.
Bu durumda $x_2\geq x_1$ olacaktır. Baştaki $x_1\geq x_2$ kabulümüze göre $x_1=x_2$ olur.
O zaman $x_1^2=x_2^2=x_3+x_4=x_4+x_1 \Rightarrow x_1=x_3$ ve $3.$ eşitlikten $x_4=x_1^2-x_3=x_3^2-x_1=x_2=x_1$.
$1.$ denklemde $x_3^2=x_1+x_2=2x_3$ ten $x_1=x_2=x_3=x_4=2$ elde edilir.

$x_3=0$ olsun.
$x_1+x_2=0$ ve $0 \leq x_4^2 = x_2+x_3 = x_2$ ile baştaki $x_1\geq x_2$ kabulünü birleştirdiğimizde $x_1=x_2=x_3=0$ olacaktır. Buradan $x_1=x_2=x_3=x_4=0$ elde ederiz.