1997 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 2 Soru 4

[matematikolimpiyati]

Bir düzgün $1997$-genin her köşesine bir pozitif reel sayı yazılmıştır. Şöyle ki, her bir sayı, "sağında" ve "solunda" yazılmış olan komşularının aritmetik veya geometrik ortalamasına eşittir. Köşelerde yazılmış olan tüm sayıların birbirine eşit olduğunu gösteriniz.

[Metin Can Aydemir]

Rastgele bir köşeyi işaretleyelim ve bu noktaya $1.$ nokta diyerek saat yönünde $2.$, $3.$, diye devam ettirelim. $i.$ köşedeki değer $a_i$ olsun. $(i+2).$ nokta ya $\frac{a_{i+1}^2}{a_i}$ ya da $2a_{i+1}-a_i$ olacaktır. Çembersellikten $a_{1997k+i}=a_i$ diyebiliriz.

Eğer $a_2>a_1$ ise $\frac{a_2^2}{a_1}>a_2$ ve $2a_2-a_1>a_2$ olduğundan $a_3>a_2$ olur ve sayılar saat yönünde artarak ilerler. $1997.$ terim diğer hepsinden büyük olacaktır. Ancak benzer şekilde $a_{1998}=a_1>a_{1997}$ olacağından bu bir çelişkidir.

Eğer $a_1>a_2$ ise benzer şekilde $\frac{a_2^2}{a_1}<a_2$ ve $2a_2-a_1<a_2$ olacağından $a_3<a_2$ olur. Yani bu sefer de sayılar saat yönünde azalmaktadır. Benzer bir çelişki elde edilir.

Dolayısıyla $a_1=a_2$ olmalıdır. Buradan $a_3=a_2$ ve $a_1=a_2=\cdots=a_{1997}$ elde edilir.