2014 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 17

[matematikolimpiyati]

$a_1,a_2,a_3,...$  pozitif sayıları$,$  her $n \in \mathbb N$ için$,\ a_{n+1}=\sqrt{a_n^2+1}$  eşitliğini sağlasın. Eğer$,\ a_{2k}=3 \cdot a_k$  eşitliği sağlanacak şekilde bir $k \in \mathbb N$  değeri bulunuyorsa$,\ a_{11}$  değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 5\sqrt2  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{5\sqrt2}{4}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{5\sqrt2}{2}  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{11\sqrt2}{2}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{9\sqrt2}{4}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$
Verilen eşitliği düzenlersek, $$a_{n+1}^2-a_n^2=1$$ elde ederiz ve $n\geq 2$ için $a_n>0$'dır ($a_1$ pozitif olmayabilir). $n=1,2,\dots k-1$ için yazıp toplarsak $$a_{k}^2-a_1^2=k-1\implies a_k=\sqrt{k-1+a_1^2}$$ elde edilir. $$a_{2k}=3a_k\implies \sqrt{2k-1+a_1^2}=3\sqrt{k-1+a_1^2}$$ $$\implies 2k-1+a_1^2=9(k-1+a_1^2)\implies a_1^2=1-\frac{7k}{8}$$ $1-\frac{7k}{8}\geq 0$ olmalıdır. Buradan $k=1$ elde edilir. Dolayısıyla $a_1^2=\frac{1}{8}$ buluruz. Dolayısıyla $$a_n=\sqrt{n-\frac{7}{8}}\implies a_{11}=\sqrt{11-\frac{7}{8}}=\frac{9}{2\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{4}$$