Tübitak Lise 1.Aşama 1995 Soru 15

[matematikolimpiyati]

Herhangi bir $r>0$  sayısı için; $f : \mathbb R \to \mathbb R$, $g : \mathbb R \to \mathbb R$ ve  $$ \begin{array}{lcl}
|x-2|<r^2&\implies & |f(x)-3|<r \\
|x-2|<\dfrac{r}{10} &\implies& |g(x)-4|<r \end{array}$$ şartlarını sağlayan $(f,g)$  fonksiyon çiftleri düşünülüyor.
Aşağıdaki $x$ değerlerinden hangileri $|f(x)+g(x)-7|<\dfrac{1}{2}$ eşitsizliğini bu tür $(f,g)$  çiftlerinin tümü için sağlar?

$(I) \quad x=1,99 \qquad (II) \quad x=2,024 \qquad (III) \quad x=1,95 \qquad (IV) \quad x=1,9$

$\textbf{a)}$ Hiçbiri için
$\textbf{b)}$ Sadece $(I)$  için
$\textbf{c)}$ Sadece $(I)$  ve $(II)$  için
$\textbf{d)}$ Sadece $(I),(II),(III)$  için
$\textbf{e)}$ Hepsi için

[Ege Sarıbaş]

Cevap C olmalı. (eğer yanlış değilsem)
Öncelikle |x - 2| < r² , r/10 sağlanırsa sağdaki eşitsizlikler sağlanır. Onları düzenleyelim:
- r < f(x) - 3 < r
- r < g(x) - 4 < r ve bunları taraf tarafa toplayalım:
- 2r < f(x) + g(x) - 7 < 2r
|f(x) + g(x) - 7| < 2r eşitsizliği sağlanır.
|f(x) + g(x) - 7| < 1/2 eşitsizliğinin daima sağlanması için 2r < 1/2 olmalı. Yani r < 1/4 olur. O zaman soruda sol tarafta verilen eşitsizliklere göre:
|x - 2| < 1/40 olmalı. Buradan:
1,975 < x < 2,025 olmalı. Bu eşitsizliği sağlayan x değerleri 1,99 ve 2,024 olur.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Yanıt: $\boxed{C}$

$$|f(x)-3|< r$$ $$|g(x)-4|< r$$ eşitliklerinden mutlak değer eşitsizliğini uygularsak
$$\rightarrow |f(x)+g(x)-7|\leq |f(x)-3|+|g(x)-4|< 2r$$
Ayrıca soruda $|f(x)+g(x)-7|< \dfrac{1}{2}$ verildiğinden $$r>\dfrac{1}{4}$$
Dolayısıyla  $$|x-2|<\dfrac{1}{40}<\dfrac{1}{16}$$
elde edilir ve $x\in \left(1,975 , 2,025\right)$ elde edilir. Bu aralıkta olan yönergeler ise $I,II$ dir.