Tübitak Lise 1. Aşama 1996 Soru 17

[matematikolimpiyati]

Aşağıdaki  $p$  asal sayılarından hangisi için$,$

$x^2+x+1 \equiv 0 \pmod p$  denkliğinin en az bir tam sayı çözümü vardır?

$\textbf{a)}\ 653  \qquad\textbf{b)}\ 647  \qquad\textbf{c)}\ 641  \qquad\textbf{d)}\ 617  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[geo]

Yanıt: $\boxed E$

Sorudaki denkliğin iki tarafını da $x-1$ ile çarparsak $x^3-1 \equiv 0 \pmod p$.

Şıklardaki asal sayılar $3k+2$ formundadır.
Fermat'ın Küçük Teoremi gereği $x^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ ve $x^{p-1} \equiv x^{3k+1} \equiv (x^3)^k x \equiv 1 \pmod p$ elde edilir. Denkliğin tek çözümü $x\equiv 1 \pmod p$ olabilir. Sorudaki denklikte yerine yazarsak $x^2+x+1 \equiv 3 \equiv 0 \pmod p$ elde ederiz. Bu da ancak $p=3$ iken mümkün olabilir. Çelişki.