Tübitak Lise 1. Aşama 1996 Soru 12

[matematikolimpiyati]

$\sin x = \dfrac{x}{22}$  denkleminin gerçel çözümlerinin sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ 17  \qquad\textbf{b)}\ 15  \qquad\textbf{c)}\ 14  \qquad\textbf{d)}\ 9  \qquad\textbf{e)}\ 7$

[geo]

Yanıt: $\boxed B$

$f(x)=g(x)$ denkleminin çözümlerini bulmak (ya da saymak) için kullanılabilecek yöntemlerden biri $y=f(x)$ ve $y=g(x)$ grafiklerini çizip kesişim yerlerini bulmak.

$x=0$; $y=\sin x$ ve $y=\dfrac x{22}$ fonksiyonları için ortak bir çözümdür. İki fonksiyon da orijine göre simetrik olduğu için $x>0$ için $n$ çözüm varsa,  $x<0$ için de $n$ çözüm olacaktır. Bu durumda toplamda $2n+1$ çözüm olacaktır.
$x>0$ için $y=\sin x$ ve $y=\dfrac x{22}$ fonksiyonlarının kaç noktada kesiştiğini saymaya çalışalım.

$y=\sin x$ ile $y = \tfrac{1}{8\pi}x$ fonksiyonu $7$ noktada kesişir.
Eğimi $\dfrac{1}{\tfrac {13\pi}{2}}> m > \tfrac{1}{8\pi}$ olan $y=mx$ doğrusu ile $y = \sin x$ fonksiyonu $7$ noktada kesişir.
O halde aradığımız yanıt $2\cdot 7+1=15$ tir.