2013 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 21

[matematikolimpiyati]

$m(\widehat{BAD})=70^{\circ}, \ m(\widehat{BDA})=52^{\circ}, \ m(\widehat{BCD})=55^{\circ}, \ m(\widehat{ACD})=29^{\circ}$ olan dışbükey $ABCD$ dörtgeninde köşegenlerin kesim noktası $E$  ise  $m(\widehat{AED})$ kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 93  \qquad\textbf{b)}\ 95  \qquad\textbf{c)}\ 97  \qquad\textbf{d)}\ 100  \qquad\textbf{e)}\ 102$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$ABD$ üçgeninin çevrel çemberinin $AC$'yi kestiği nokta $O$ olsun. $m(\widehat{ABD})=m(\widehat{AOD})=2\cdot m(\widehat{ACD})$ ve $m(\widehat{ADB})=m(\widehat{AOB})=2\cdot m(\widehat{ACB})$ olduğundan $O$; $BCD$'nin çevrel çemberinin merkezidir. $m(\widehat{BOD})=110^\circ$ olduğundan $m(\widehat{BDO})=35^\circ$ olacaktır. $$m(\widehat{AED})=m(\widehat{BDO})+m(\widehat{ADO})=35^\circ+58^\circ=93^\circ$$ elde edilir.

[Lokman Gökçe]

Bu sınav için yazmış olduğum sorulardan biridir. Kendi çözümümü de ekleyebilirim.


Çözüm [Lokman Gökçe]: $\angle ACB = 21^\circ$ ve $\angle ABD = 58^\circ$'dir. Bu problemdeki geometrik dokuyu tanıyalım. $\angle ADB = 2\angle ACB$ ve $\angle ABD = 2\angle ACD$ bağıntıları sağlandığından bu bize iç ve dış açıortaylar arasındaki açı bağıntısını hatırlatmaktadır. Yani $C$ noktasının $ABD$ üçgeninde bir dış merkez olduğunu hissederek çözümü verebiliriz. Yine de, sezgi düzeyinde kalmadan bu tahminimizi kanıtlayarak ilerlemeliyiz. Bunun için $\angle ADB$'nin iç açıortayını çizelim. Bu açıortay ile $AC$ doğrusu $I$ noktasında kesişsin. $\angle IDB = \angle ICB = 21^\circ$ olduğundan $DIBC$ kirişler dörtgeni olur. Aynı yayı gören çevre açılardan $\angle IBD = \angle ICD = 29^\circ$ olur. Böylece $\angle IBA = 29^\circ$ olur. Böylelikle $[BI$, $ABD$ üçgeninde bir iç açıortaydır ve $I$ iç merkez olur. O halde $[AI$ da bir iç açıortaydır. $\angle DAI = \angle BAI = 35^\circ$ olup $\angle AED = 93^\circ$ elde edilir.

Not: Genel yapı şöyledir: $\angle ADB = 2\angle ACB$ ve $\angle ABD = 2\angle ACD$ ise $C$ noktası $ABD$ üçgeninde $A$'ya göre dış teğet çemberin merkezidir. İspat için, çözümdeki adımlar takip edilerek $I$ iç merkezi inşa edilir.