Ravi Dönüşümü-3 {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Ravi dönüşümünün üçüncü uygulaması olarak Alessandro Padoa (1868-1937) tarafından verilen eşitsizliği sunalım.

Problem: Kenar uzunlukları $a,b,c$ olan herhangi bir üçgende $abc\geq (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)$ olduğunu gösteriniz. Eşitlik durumunu belirleyiniz.



Daha sonra Leo Giugiuc tarafından bu eşitsizliğin bir genellemesi verilmiştir.

Genelleme: $a,b,c>0$ gerçel sayılar ise $abc\geq (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)$ sağlanır. İspatlayınız.

[alpercay]

Kanıt: Eşitsizlikte $a=y+z$, $b=x+z$, $c=x+y$  Ravi dönüşümü uygulanırsa gösterilmesi istenilen eşitsizlik $$(y+z)(x+z)(x+y)\ge 8xyz$$ halini alır. Eşitsizliğin solundaki üç çarpana ayrı ayrı $$y+z\ge2\sqrt{yz}$$ $$x+z\ge2 \sqrt{xz}$$ $$x+y\ge2 \sqrt{xy}$$şeklinde AO-GO eşitsizliği uygulanarak $$(y+z)(x+z)(x+y)\ge 8xyz$$ eşitsizliği elde olunur. Burada $x=\dfrac{b+c-a}{2}$, $y=\dfrac{a+c-b}{2}$, $z=\dfrac{b+a-c}{2}$ konularak  $$abc\geq (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)$$ olduğu gösterilmiş olur. Eşitlik durumu AO-GO eşitsizliğinden dolayı $x=y=z$ iken yani üçgen eşkenar olduğunda sağlanır. Üçgen eşitsizliğin den dolayı sağdaki üç çarpan da pozitiftir. Genel durumda bu zorunluluk yoktur ve kanıt bunun üzerine kurulabilir.
Genelliği bozmadan $a\ge b\ge c$ olsun. Bu durumda $$a+b-c\ge 0, a+c-b\ge 0$$ olur.
Eğer $b+c-a\ge 0$ ise üçgen eşitsizliği sağlanacağından üstteki kanıtı elde ederiz. O zaman $b+c-a\le 0$ olsun. Buna göre $$(b+c-a) (a+c-b) (a+b-c) \le 0$$ ve $abc\gt 0$ olduğundan $$(b+c-a) (a+c-b) (a+b-c) \le abc$$ bulunur.

[Lokman Gökçe]

İspat için Alper Çay hocama teşekkürler. Genelleme kısmının ispatı artık kolaydır. Bunu da ben gösterebilirim.


Genelleme'nin İspatı: $a,b,c$ bir üçgenin kenarları iken $abc\geq (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)$ eşitsizliğinin sağlandığını ve eşitlik koşulunun $a=b=c$ olduğunu biliyoruz.

Şimdi $a,b,c$ pozitif sayıları bir üçgen oluşturmuyor olsun. Bu durumda bunlardan en büyüğü, diğer ikisinin toplamından az değildir. Örneğin $a=\max\{a,b,c \}$ olsun. Bu halde $a\geq b+ c$ dir. Böylece $b+c-a\leq 0$ olurken $c+a-b>0$ ve $a+b-c>0$ olur. Dolayısıyla $(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)\leq 0$ elde edilir. $abc>0$ olduğundan $abc > (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)$ elde edilir. Yani $a,b,c$ pozitif sayılarının üçgen oluşturmama durumunda eşitlik koşulunun sağlanması mümkün değildir.


Edit: Genellemenin ispatını aynı dakikalarda yapmışız