2011 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 25

[matematikolimpiyati]

$a=\dfrac{10^{9900}}{10^{99}-7}$  sayısının tam kısmının son rakamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 2  \qquad\textbf{b)}\ 3  \qquad\textbf{c)}\ 1  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 8$

[Abdullah demircan]

Cevap: $\fbox{B}$

$10^{9900} \equiv 7^{100} \pmod {10^{99}-7}$ olduğundan tam kısmı
$\frac{10^{9900}-7^{100}}{10^{99}-7}$'dir.
$\frac{10^{9900}-7^{100}}{10^{99}-7}\equiv x \pmod {10}$
$10^{9900}-7^{100} \equiv x(10^{99}-7) \pmod {10}$
 $7^{100} \equiv1 \pmod {10}$ olduğundan,
$9 \equiv 3x \pmod {10}$
$x \equiv 3 \pmod {10}$