2008 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 14

[matematikolimpiyati]

$a>0\ ,\ b>0$ ve $c \in [0,7]$ için$,$

                   $(a+b) \left( \dfrac{1}{ca+b} + \dfrac{1}{cb+a} \right)$

ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac13  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac12  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac14  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac23  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac25$

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Yanıt: $\boxed{B}$

Bergström Eşitsizliği ile $c\leq 7$ olduğunu kullanırsak
$$(a+b) \left( \dfrac{1}{ca+b} + \dfrac{1}{cb+a} \right)\geq (a+b)\left(\dfrac{4}{(c+1)(a+b)}\right)=\dfrac{4}{c+1}\geq \dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$$
elde edilir ve minimum değer $\dfrac{1}{2}$ bulunur. Eşitlik durumu $c=7, a=b$ iken sağlanır.