Tübitak Ortaokul 1. Aşama 1998 Soru 20

[matematikolimpiyati]

$2$ ve $9$ ile bölünebilen bir sayının tam olarak $15$ pozitif böleni varsa bu sayı $5$ e bölündüğünde kalan ne olur?

$\textbf{a)}\ 0  \qquad\textbf{b)}\ 1  \qquad\textbf{c)}\ 2  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ 4$

[geo]

Yanıt: $\boxed E$

$n = p_1^{a_1}p_2^{a_2}\dots p_k^{a_k}$ sayısının pozitif bölenlerinin sayısı $(a_1+1)(a_2 + 1) \cdots (a_k+1)$ dir.
$15$ sayısı $1$ den büyük $2$ ya da daha fazla sayının çarpımı şeklinde tek bir biçimde yazılabilir: $15 = 3 \times 5$.
Aradığımız sayının en az iki farklı asal böleni ($2$ ve $3$) olduğu için $n=2^x3^y$ ve $(x+1)(y+1) = 15$ olmalı.
$n$ için iki durum söz konusu: $n=2^23^4$ ve $n=2^43^2$
İki sayı da $5$ ile bölündüğünde $4$ kalanını verir.