Tübitak Lise 1. Aşama 1997 Soru 22

[matematikolimpiyati]

$x^3-7x+1=0$ denkleminin$,$ varsa$,$ pozitif köklerinin (çarpma işlemine göre) terslerinin toplamını $S$ ile gösterirsek$,$ aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$\textbf{a)}\ \dfrac{13}{2}<S<7  \qquad\textbf{b)}\ 7<S<\dfrac{15}{2}  \qquad\textbf{c)}\ S=7  \qquad\textbf{d)}\ \text{Denklemin pozitif kökü yoktur.}  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

Verilen denklemin $3$ tane kökünün iki tanesinin pozitif, bir tanesinin negatif olduğunu gösterelim. Polinoma $P(x)$ dersek $P(-3)=-5$, $P(-2)=7$, $P(0)=1$, $P(1)=-5$, $P(3)=7$ olduğundan aradeğer teoreminden $(-3,-2)$, $(0,1)$, $(1,3)$ aralıklarında birer kökü vardır. Negatif köke $-a$, pozitif köklere $b$ ve $c$ diyelim. Vieta teoreminden $$S-\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{(-a)}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{(-a)b+(-a)c+bc}{(-a)bc}=\dfrac{-7}{-1}=7$$ Dolayısıyla $S=7+\frac{1}{a}$'dir. Yukarıda bulduğumuz aralıklardan dolayı $a\in (2,3)$ ve buradan da $\frac{1}{a}\in \left(\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right)$'dir.  Dolayısıyla $$7<7+\dfrac{1}{3}<S<7+\dfrac{1}{2}=\dfrac{15}{2}$$ elde edilir.

Not: Mustafa Töngemen'e ait 2008 yılı basımlı Tübitak Matematik Olimpiyatı Soru ve Çözümleri kitabında sorunun yanıtının olmadığı belirtilmiştir. Oradaki çözüm hatalıdır.