2003 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 08

[matematikolimpiyati]

Şekildeki küçük çemberin yarıçapı $\sqrt5$, büyük çemberin yarıçapı da $\sqrt{10}$'dur. Küçük çember, büyük çemberin merkezinden geçiyorsa, taralı bölgenin alanı nedir?

$\textbf{a)}\ 2\sqrt5  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{5 \pi}{2}-\sqrt{10}  \qquad\textbf{c)}\ 5\sqrt2  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 5\pi -10$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Büyük çemberin merkezi $O$, küçük çemberin merkezi $M$ olsun. Çemberler $A$ ve $B$ noktalarında kesişsin. $OMA$ ikizkenar üçgen ve kenarları $\sqrt{5}-\sqrt{5}-\sqrt{10}$ olduğundan bu üçgen $45^\circ -45^\circ -90^\circ$ üçgeni olmalıdır. Yani $A,M,B$ doğrusaldır. Ayrıca $m(\widehat{AOB})=90^\circ$ olacaktır. $AB$ doğrusu ile $AB$ yayının arasında kalan bölgenin alanı $\frac{\pi (\sqrt{10})^2}{4}-\frac{\sqrt{10}\cdot \sqrt{10}}{2}=\frac{5\pi}{2}-5$'dir. Taralı alan, $M$ merkezli çemberin alanının yarısından az önce bulduğumuz alanın çıkartılmış halidir. Dolayısıyla, taralı alan $$\frac{\pi(\sqrt{5})^2}{2}-\left(\frac{5\pi}{2}-5\right)=5$$ olarak bulunur.