Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı 2022 Soru 1

[matematikolimpiyati]

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde $|BC|<|AB|$ ve $|BC|<|AC|$ dir. $[AB]$ kenarı üzerinde bir $P$ ve $[AC]$ kenarı üzerinde bir $Q$ noktası $P \neq B,\ Q \neq C$ ve $|BQ|=|BC|=|CP|$ olacak şekilde alınıyor. $APQ$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $T,$  $ABC$ üçgeninin diklik merkezi $H,$  $BQ$ ve $CP$ doğrularının kesişim noktası $S$ olsun. $T,\ H$ ve $S$ noktalarının aynı doğru üzerinde olduklarını gösteriniz.

[matematikolimpiyati]

$m(\widehat{ABC})=B,\ m(\widehat{ACB})=C$ ve $m(\widehat{BAC})=A$ olsun.

$ABC$ üçgeninde $H$ noktası diklik merkezi olduğundan $BH \perp QC$ ve aynı zamanda $BQC$ üçgeni ikizkenar olduğu için $BH$ doğrusu $\widehat{QBC}$ açısının açıortayıdır. Benzer şekilde $CH$ doğrusu da $\widehat{PCB}$ açısının açıortayı olur. Böylece $H$ noktasının $SBC$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi olduğunu görürüz. Buradan da $m(\widehat{BSH})=m(\widehat{HSC})=90-A$ elde ederiz.
Ayrıca $m(\widehat{PTQ})+m(\widehat{PSQ})=2A+(180-2A)=180$ olduğundan dolayı $T,P,S,Q$ çemberseldir. Bu çemberden de $m(\widehat{TQP})=m(\widehat{TSP})=90-A$ olduğunu göz önüne alırsak $m(\widehat{TSP})=m(\widehat{HSC})$ eşitliğine ulaşırız ki bu da bize $T,S,H$ noktalarının doğrusal olduğunu gösterir.