2006 Tübitak Ortaokul 1. Aşama Soru 16

[matematikolimpiyati]

$x^2-ax+21=0$ denkleminin köklerinden birinin pozitif bir tam sayı olmasını sağlayan en küçük $a$ gerçel sayısı için $a-[a]$ nın değeri nedir?

$\textbf{a)}\ \dfrac13  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac14  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac15  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac17  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[ygzgndgn]

Cevap: $\boxed{C}$

Vieta formüllerinden kökler $x_1,x_2$ ise $x_1+x_2=a$ ve $x_1x_2=21$ olmalıdır. İkinci denklemden $x_2=\frac{21}{x_1}$ yazılabilir. Öyleyse AGO kullanılırsa $$x_1+x_2=a\Rightarrow a=x_1+\frac{21}{x_1}\geq 2\sqrt{21}$$ olmalıdır. Eşitlik durumu $x_1^2=21$ ve $x_1=\sqrt{21}$ olmalıdır. O halde istenen koşulların sağlanması için $x_1$, $\sqrt{21}$ e en yakın olan sayıya eşit olmalıdır. $x_1=5$ yazılırsa $a$ gerçel sayısının en küçük değeri $\frac{46}{5}$ bulunur. Soruda $a$ nın kesir değeri istenmiştir. Bu ise $\frac{1}{5}$ olacaktır.