Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2022 Soru 23

[matematikolimpiyati]

$(x+2)(y+3)=24$ eşitliğini sağlayan $x$ ve $y$ pozitif gerçel sayıları için $xy$ çarpımının alabileceği en büyük değer nedir?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 8$

[alpercay]

Yanıt: $\boxed {C}$
Çarpanlara AO-GO eşitsizliğini ayrı ayrı uygulayalım:
$$x+2\ge 2\sqrt{2x}$$ $$y+3\ge 2\sqrt{3y}$$ Bu eşitsizlikleri taraf tarafa çarparak $$(x+2)(y+3)\ge 4\sqrt{6xy}$$ $$6\ge \sqrt{6xy}$$ $$6\ge x.y$$ bulunur.