Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2022 Soru 17

[matematikolimpiyati]

$AD \parallel BC$ ve $|AD|>|BC|$ olan bir $ABCD$ yamuğunda $B$ noktasından geçen ve $CD$ doğrusuna paralel olan doğru $AD$ doğrusunu $E$ noktasında kesiyor. $\widehat{CBE}$ ile $\widehat{DAC}$ açılarının iç açıortayları $[CE]$ yi sırasıyla $F$ ve $G$ noktalarında kesiyor. $AC$ ile $BE$ doğrularının kesişimi $H$ olmak üzere $|CH|=2$ ve $|CF|=|GE|$ ise $|EH|$ nedir?

$\textbf{a)}\ 6  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 4  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ 2$

[alpercay]

Yanıt: $\boxed E$
$BEDC$ bir paralelkenar olacağından $m(EBC)=m(EDC)=2\alpha$ diyelim ve $G$  ve $D$ noktalarını birleştirelim. $m(BCF)=m(DEG)$  ve $|BC|=|ED|,  |CF|=|EG|$ olduğundan $BCF$ ve $DEG$ üçgenleri eştir. Dolayısıyla $DG$ doğru parçası $CED$ üçgeninin iç açıortayı olur. Bu durumda $CED$ üçgeninde iç açıortay teoreminden $$ED/CE=GE/GC$$ ve $AEC$ üçgeninde açıortay teoreminden $$AE/AC=GE/GC$$ olduğundan $$ED/CD=AE/AC$$ olacağından $CE$ doğru parçası $ACD$ üçgeninde iç açıortaydır. Bu durumda $m(ECD)=m(ECA)$ ve $CD//BE$ oldugundan $m(ECA)=m(CEH)$ ve sonuç olarak $$|CH|=|EH|=2$$ bulunur.