Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2022 Soru 08

[matematikolimpiyati]

Bir küpün altı yüzünün her birinde birbirinden farklı iki basamaklı pozitif tam sayılar yazılmıştır. Ortak kenara sahip herhangi iki yüzdeki sayıların
farkı en az $2$ ise, bu altı sayının toplamı en az kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 77  \qquad\textbf{b)}\ 79  \qquad\textbf{c)}\ 81  \qquad\textbf{d)}\ 83  \qquad\textbf{e)}\ 85$

[vedatde]

Bir küpün 3 tane karşılıklı yüzeyi vardır.
1. karşılıklı yüzeydeki sayılar   $x_1$ ve $x_2$ , 
2. karşılıklı yüzeydeki sayılar $x_3$ ve $x_4$ ,   
3. karşılıklı yüzeydeki sayılarda $x_5$ ve $x_6$  olsun.
Karşılıklı yüzey oluşturmayan yüzey ikilileri birbirleri ile ortak kenara sahiptir. 
Küpün yüzeylerindeki sayıların toplamının en az olması istenmektedir.
Tüm sayılar birbirinden farklı ve iki hanelidir.
Öyleyse
$x_1=x_2+1$ ,
$x_3=x_4+1$ ve
$x_5=x_6+1$ seçildiğinde toplamları en az yapabiliriz.
$T=x_1+x_2+\ x_3+x_4+x_5+x_6$
$T=2\left(x_2+x_4+x_6\right)+3$
$x_2$ , $x_4$ , $x_6$ sayılarının bulunduğu yüzeyler birbirleriyle ortak kenara sahiptir.
Öyleyse bunları da en küçük ve aralarındaki fark en az 2 olacak şekilde seçersek ,
$x_2=10$ seçilmeli ve  O zaman  $x_1=11$ olur.
$x_4=13$ seçilmeli ve  O zaman  $x_3=14$ olur.
$x_6=16$ seçilmeli ve  O zaman  $x_5=17$ olur.
$T=2\left(10+13+16\right)+3=2.39+3=81$ olur.