Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2022 Soru 07

[matematikolimpiyati]

Boyları aynı kalınlıkları farklı olan dik silindir şeklindeki iki mum aynı anda yakılıyor. Bu iki mumun birim zamanda eriyen miktarları aynıdır. Mumlar yakıldıktan $5$ saat sonra mumların boyları oranının $\dfrac{22}{21}$ olduğu ölçülüyor. Bu ölçümden $10$ saat sonra ise mumların boyları oranı $\dfrac{16}{13}$ olduğuna göre başlangıçtan itibaren kaç saat sonra mumların boyları oranı $7$ olur?

$\textbf{a)}\ 45  \qquad\textbf{b)}\ 40  \qquad\textbf{c)}\ 35  \qquad\textbf{d)}\ 30  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[alpercay]

Yanıt: $\boxed D$
Mumların başlangıçtaki boyları $l$ ve yakıldıktan $5$ saat sonraki boyları $22k$  ve  $21k$, $15$ saat sonraki boyları ise $16m$   ve $13m$ olsun. O zaman $t$ saat sonra birinci mumun kalan kısmı  $$l-\dfrac{22k-16m}{5}.t$$ ve ikinci  mumun kalan kısmı  $$l-\dfrac{21k-13m}{5}.t$$ birim olur.

Buna göre $$\dfrac{l-\dfrac{22k-16m}{5}.t}{l-\dfrac{21k-13m}{5}.t}=7......(*)$$ eşitliğinden $t$ değerini bulmalıyız.

Mumların $5$ saat sonraki boylar oranı $$\dfrac{l-(22k-16m)}{l-(21k-13m)}=\dfrac{22}{21}$$ olacağından bu eşitlikten $l=50m$, mumların $15$ saat sonraki boyları oranı $$\dfrac{l-3(22k-16m)}{l-3(21k-13m)}=\dfrac{16}{13}$$ olacağından bu eşitlikten $l=50k$ ve dolayısıyla $k=m$ bulunur.

(*) eşitliğinde $l=50k$   ve $m=k$ yazılırsa $$\dfrac{250k-6kt}{250k-8kt}=7$$ eşitliğinden $t=30$  saat bulunur.