Tübitak Lise 1. Aşama 2022 Soru 32

[matematikolimpiyati]

Aslı ve Zehra, başlangıçta boş olan $30 \times 30$ bir satranç tahtası üzerinde sırayla hamle yaparak bir oyun oynuyorlar. Oyuna Aslı başlıyor. Aslı her hamlesinde, kırmızı bir bilye içeren bir birim kareyle ortak bir kenarı bulunmayan boş bir birim kareye bir kırmızı bilye yerleştiriyor. Zehra ise her hamlesinde, boş bir birim kareye bir beyaz bilye yerleştiriyor. Oyunculardan herhangi biri hamle yapamazsa oyun sonlandırılıyor. Aslı her zaman en az $k$ tane kırmızı bilye yerleştirmeyi garantileyebiliyorsa, $k$ en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 200  \qquad\textbf{b)}\ 225  \qquad\textbf{c)}\ 250  \qquad\textbf{d)}\ 275  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[vedatde]

30x30 birim karesi olan satranç tahtasını 2x2 birimlik karelere bölersek 225 adet
2x2 birimlik kareler oluşur.
 
Bir adet 2x2 birimlik kareye en fazla iki kırmızı bilye yerleştirilebilir.
İki kırmızı bilye yerleştirilmiş 2x2 birimlik karenin diğer iki adet boş birim karesine
Zehra'nın beyaz bilye yerleştirmesi, Aslının toplam yerleştireceği kırmızı bilye sayısını artırır.
Dolayısı ile Zehra bunu yapmayacaktır.

Bir kırmızı bilye yerleştirilmiş 2x2 birimlik karede kırmızı bilye yerleştirilmiş 1x1 birimlik
karenin kenarları ile değil köşesi ile ortak olan 1x1 birimlik kareye Zehra bir beyaz bilye
yerleştirebilir. Diğer iki adet 1x1 birim kareye Zehra'nın beyaz bilye yerleştirmesi Aslının
toplam yerleştireceği kırmızı bilye sayısını artırır.
Dolayısı ile Zehra bunu da yapmayacaktır.
 
Eğer bir 2x2 birimlik kareye bir kırmızı biye yerleştirilemiyorsa tamamına beyaz bilye
yerleştirilmiş demektir. 

a tane 2x2 birimlik kareye 2 tane kırmızı bilye,
b tane 2x2 birimlik kareye 1 tane kırmızı bilye ve
c tane 2x2 birimlik kareye 0 tane kırmızı bilye yerleştirilsin.
$a+b+c=225$
Eğer Aslı için yapacak hamle kalmadıysa;
4c hamlede c tane 2x2 birimlik karenin her birinin tamamına beyaz bilye yerleştirilmiştir.
2b hamlede b tane 2x2 birimlik kareye b tane kırmızı b tane beyaz bilye yerleştirilmiştir.
2a hamlede a tane 2x2 birimlik kareye 2a tane kırmızı bilye yerleştirilmiştir.
Aslının ve Zehra'nın hamle sayıları eşit olduğuna göre;
$2a+b=b+4c$ ve $a=2c$ bulunur.
Öyleyse $a+b+c=225$  ve  $a+b+\frac{a}{2}=225$
$3a+2b=450$ olur. Burada $a=2m$ ve $b=3n$ olmak üzere,
$m+n=\frac{450}{6}=75$ bulunur.
Kırmızı bilyelerin sayısı $2a+b=4m+3n=3\left(m+n\right)+m$ olur.
$2a+b=3\left(m+n\right)+m=3.75+m=225+m\geq225$ bulunur.
$m=0$ iken eşitlik oluşur. $m=0$ ise $a=0$ dır. Dolayısı ile $c=0$ dır.
Yani $b=225$ olur.
Aslı her zaman 225 kırmızı bilye yerleştirmeyi garantileyebilir.