Tübitak Lise 1. Aşama 2022 Soru 28

[matematikolimpiyati]

$11 \times 11$ satranç tahtasının birim karelerinden oluşan $n$ tane $2 \times 2$ karenin herhangi ikisinin en fazla bir ortak birim karesi varsa $n$ en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 44  \qquad\textbf{b)}\ 46  \qquad\textbf{c)}\ 48  \qquad\textbf{d)}\ 50  \qquad\textbf{e)}\ 52$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

$11\times 11$ tahtayı $1,2,3,4$ numaralı renklerle aşağıdaki gibi  boyayalım:

$$
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 \\ \hline
 3 & 4 & 3 & 4 & 3 & 4 & 3 & 4 & 3 & 4 & 3 \\ \hline
 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 \\ \hline
 3 & 4 & 3 & 4 & 3 & 4 & 3 & 4 & 3 & 4 & 3 \\ \hline
 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 \\ \hline
 3 & 4 & 3 & 4 & 3 & 4 & 3 & 4 & 3 & 4 & 3 \\ \hline
 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 \\ \hline
 3 & 4 & 3 & 4 & 3 & 4 & 3 & 4 & 3 & 4 & 3 \\ \hline
 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 \\ \hline
 3 & 4 & 3 & 4 & 3 & 4 & 3 & 4 & 3 & 4 & 3 \\ \hline
 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 \\ \hline
\end{array}
$$

$2\times 2$ türündeki bir kare içinde bu dört renkten her biri birer kez görülür. $4$ lerin sayısı $25$ tir. Belli bir $4$'ün olduğu birim kareyi paylaşan en fazla $2$ tane $2\times 2$ türünde kare olabilir. Böylece, istenen özellikteki kareleri sayısı $2\cdot 25 = 50$ den fazla olamaz. $n=50$ durumuna örnek olarak $25$ er tane
$$\begin{array}{|c|c|}
\hline
 1 & 2 \\ \hline
 3 & 4 \\ \hline
\end{array}
\quad \text{ ve } \quad
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
 4 & 3 \\ \hline
 2 & 1 \\ \hline
\end{array}$$

biçimindeki kareleri verebiliriz.