Tübitak Lise 1. Aşama 2022 Soru 01

[matematikolimpiyati]

Bir $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7$ düzgün yedigeninde $[A_2A_6]$ doğru parçası üzerinde $|A_6B|+|A_6A_7|=|A_4A_7|$ olacak biçimde bir $B$ noktası alınıyor. $m(\widehat{BA_7A_6})$ kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 90^{\circ}  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{540}{7}^{\circ}  \qquad\textbf{c)}\ 75^{\circ}  \qquad\textbf{d)}\ 60^{\circ}  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac{360}{7}^{\circ}$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{B}$

Eşit uzunluklu köşegenler incelenirse, $|A_4A_7| = |A_2A_6|$ olur. $|A_6A_7| = a$, $|A_6B| = b$ denirse $|A_4A_7| = |A_2A_6|=a+b$ olup $|A_2B|=a$ olur. Böylece, $A_1A_2BA_7$ bir eşkenar dörtgen olur. Ayrıca $|A_7B| = |A_6A_7|=a$ olup $A_6A_7B$ üçgeni ikizkenardır. Düzgün yedigenin bir dış açısı $\dfrac{2\pi}{7}$ olduğundan $m(\widehat{A_1A_2A_6}) = m(\widehat{A_7BA_6}) = m(\widehat{A_7A_6B}) = \dfrac{2\pi}{7}$ dir. Böylece, $m(\widehat{BA_7A_6}) =  \dfrac{3\pi}{7} = \dfrac{540^\circ}{7}$ bulunur.