1999 Antalya Matematik Olimpiyatı Lise 1-2 Soru 03

[matematikolimpiyati]

$1,2,3,4,...,19999$ sonlu dizisinin ardışık kaç teriminin toplamı $13678$'dir?

$\textbf{a)}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 8$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

Şu basit özelliği kullanalım: $n$ bir tek sayı olmak üzere ardışık $n$ tane tam sayının toplamı $n$ ile tam bölünür. Ortadaki sayı $a$ ise bu sayıların toplamı $a\cdot n$ olur. Bunu kolayca gösterebiliriz. Örneğin

$n=3$ için $(a-1) + a + (a+1) = 3a$

$n=5$ için $(a-2) + (a-1) + a + (a+1) + (a+2) = 5a$

$n=7$ için $(a-3) + (a-2) + (a-1) + a + (a+1) + (a+2) + (a+3)= 7a$

olmaktadır. $3\nmid 13678$ olduğundan $n\neq 3$ ve $5\nmid 19678$ olduğundan $n\neq 5$ tir. $13678 = 7 \cdot 1954$ olduğundan $a=1954$ olup $1951, 1952, 1953, 1954, 1955, 1956, 1957$ sayılarının toplamı $13678$ dir. Doğru yanıta ulaşmış olduk.

Diğer seçeneklerin neden olmayacağını da gösterebiliriz. $n=6$ sayı için $a + (a+1) + (a+2) + (a+3) + (a+4) + (a+5) = 6a + 15$ olup $3$ ile tam bölünür. Fakat $3\nmid 13678$ dir. Yine $n=8$ sayı için $a + (a+1) + (a+2) + (a+3) + (a+4) + (a+5) + (a+6) + (a+7) = 8a + 28$ olup $4$ ile bölünür. Fakat $4\nmid 13678$ dir.