Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2018 Soru 31

[matematikolimpiyati]

$a$ ve $b$ pozitif gerçel sayılar olmak üzere, $\dfrac{a^3+b^2+2ab^2(a+1)}{ab(a+b)}$ sayısının alabileceği en küçük değer nedir?

$\textbf{a)}\ 2 \sqrt2  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac{17}{6}  \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ 2 \sqrt3  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac72$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Aritmetik-Geometrik Ortalama eşitsizliğinden $$a^3+2ab^2\geq 2\sqrt{2}a^2b$$ $$b^2+2a^2b^2\geq 2\sqrt{2}ab^2$$ elde edilir. Dolayısıyla, $$\frac{a^3+b^2+2ab^2(a+1)}{ab(a+b)}\geq \frac{2\sqrt{2}a^2b+b^2+2a^2b^2\geq 2\sqrt{2}ab^2}{ab(a+b)}=2\sqrt{2}$$ elde edilir. Eşitlik durumu ise $a^3=2ab^2$ ve $b^2=2a^2b^2$ durumunda, yani $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ve $b=\frac{1}{2}$ iken sağlanır.