Düzgün altıgen ve alan {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Soru: $ABCDEF$ düzgün altıgeninin içinden bir $P$ noktası alınıyor. $ Alan(ABCDEF) = S $, $Alan(PAB)=S_1$, $Alan(PBC)=S_2$, $Alan(PCD)=S_3$, $Alan(PDE)=S_4$, $Alan(PEF)=S_5$, $Alan(PFA)=S_6$ olmak üzere,

$$ S_1 - S_2 + S_3 = S_2 - S_3 + S_4 =S_3 - S_4 + S_5 =S_4 - S_5 + S_6 =S_5 - S_6 + S_1 =S_6 - S_1 + S_2 =\dfrac{S}{6} $$

bağıntısının sağlandığını kanıtlayınız.




Kaynak: buradaki problemi hafifçe genelleştirdim.

[Lokman Gökçe]

Çözüm (Lokman GÖKÇE):


$AB$ ve $CD$ doğrularının kesişimi $G$ olsun. $P$ den $AB$, $BC$, $CD$ doğrularına inen dikme ayakları sırasıyla $K, L, M$ olsun. $BCG$  eşkenar üçgeninin yüksekliğine $h$ dersek, Viviani teoremi gereğince $|PK|+ |PM| - |PL| = h$ olur. Düzgün altıgenin bir kenar uzunluğu $a$ olmak üzere, $S_1  - S_2 + S_3 = \dfrac{a\cdot (|PK|+ |PM| - |PL| )}{2} = \dfrac{a\cdot h}{2} = Alan(BCG)$ dir. $Alan(BCG) = \dfrac{S}{6}$ olduğundan, $$S_1  - S_2 + S_3 =\dfrac{S}{6}$$ eşitliğine ulaşırız. Diğer bağıntılar da benzer şekilde gösterilebilir.