Hüseyin Demir'in Bir Sorusunun Benzeri (MD 1991)

[Lokman Gökçe]

Soru: $ABC$ üçgeninin $B$ ve $C$ köşelerinden çizilen iç açıortaylar, karşılarında bulunan kenarları sırasıyla $D, E$ noktalarında kessin. $[DE]$ doğru parçası üzerinden alınan keyfi bir $P$ noktasından $BC, CA, AB$ doğrularına inen dikme ayakları sırasıyla $F, G, H$ olsun. $|PF| = |PG| + |PH|$ olduğunu kanıtlayınız.

• Bu soru ile uzun zaman önce uğraşmıştım ancak kaynağını bilmiyorum. Bir dergide sunulmuş ya da bir olimpiyatta sorulmuş olabilir. Kaynağını bilen varsa eklemesini rica edeceğim.
  
  
• Problemde $P$ noktası özel olarak $A$ dan çizilen iç açıortayın $DE$'yi kestiği nokta olarak alınırsa $|PG| = |PH|$ olacağı için $|PF| = 2|PG|$ biçimine dönüşecektir. Bu hali için, (merhum) Hüseyin Demir hocamız tarafından Matematik Dünyası dergisinin Ekim 1991 sayısında Y19 yarışma problemi olarak sunulduğunu görüyoruz. Çözümü de, Matematik Dünyası dergisinin Şubat 1992 sayısında sayfa 29-30 da sunulmuştur. Belki, sorunun yukarıdaki daha genel biçimini de Hüseyin Demir hocamız bulmuş olabilir ama bunu destekleyecek bir kaynak elimde yoktur.
  
  
• MD'de özel hal için sunulan çözümü derleyip genel biçimi yanıtlamayı deneyebiliriz. Hüseyin Demir hocamızla bolca geometri tartışması yapma vakti bulmuş olan (2020'de kaybettiğimiz) Cem Tezer hocamızın kullandığı 'geometrik doku' tabiri vardır. Mümkünse bu problemin geometrik dokusunu açıklayacak bir çözüm bulmaya çalışalım istiyorum. Yani, problemdeki eşitliğin varlığına götürecek zihinsel süreci de ortaya koyarak bir çözüm üretilebilirse, bu daha estetik ve kıymetli olacaktır. Diğer bir deyişle; bu geometri sorusu, soruyu yazanın aklına nasıl gelmişti?
  
  
• Problem ile ilgili şunu da düşündüm. Eğer $P$ noktasını $DE$ doğrusu üzerinde alırsak; örneğin $|AB| \leq |AC|$ iken $[DE$'nin $E$ yönündeki uzantısı üzerinde alırsak ($E$ noktası $P$ ile $D$ arasında) bu durumda eşitlik nasıl olabilir? Çizim programı ile $|PF| = |PG| - |PH|$ olduğunu gördüm. Yine $|AB| \leq |AC|$ iken $P$ noktasını $[ED$'nin $D$ yönündeki uzantısı üzerinde alırsak ($D$ noktası $P$ ile $E$ arasında) bu halde $|PF| = |PH| - |PG|$ eşitliği sağlanmaktadır. Bunu da bir problem olarak burada not ederek çözmeyi deneyelim. (Lokman GÖKÇE)
  

[geo]

$D$ den $BC$ ve $AB$ ye inilen dikmelerin ayakları sırasıyla $H'$ ve $H''$ olsun. $DH'=DH''=h_1$ olacaktır.
$E$ den $BC$ ve $AC$ ye inilen dikmelerin ayakları sırasıyla $G'$ ve $G''$ olsun. $EG'=EG''=h_2$ olacaktır.

$EP=x$, $PD=y$ olsun.

$EG'H'D$ yamuğunda benzerlikten $$PF = \dfrac {h_1x + h_2y}{x+y}$$ elde ederiz.
Yine benzerlikten $$PH= \dfrac {h_1x}{x+y}, \quad  PG = \dfrac {h_2y}{x+y}$$ elde edilir. Buradan da $PF = PH + PG$ elde ederiz.

[Lokman Gökçe]

Tebrikler hocam, elinize sağlık. Bu çözümünüzü, $P$ noktasının $DE$ doğrusu üzerindeki diğer konumlarına uygulayarak (yukarıda bahsettiğim) $|PF| = |PG| - |PH|$ ve $|PF| = |PH| - |PG|$ eşitliklerini elde edebiliyoruz.

[geo]

$ABC$ üçgeninde $AC$ doğrusu üzerinde bir $D$, $AB$ doğrusu üzerinde bir $E$ noktası alınıyor.
$P$, $DE$ doğrusu üzerinde bir nokta olmak üzere; $P$ den $AC$ ye çizilen paralel $CE$ yi $G’$ de, $AB$ ye çizilen paralel $BD$ yi $H’$ de kessin.
$$[BPC] = \left [ BG’C \right ] + \left [ BH’C \right ]$$ olduğunu gösteriniz.

($[BXC]$ ile $BXC$ üçgensel bölgesinin alanını; $X$ ile $A$, $BC$ ye göre aynı tarafta ise $+$ aksi halde $-$ olarak ifade ediyoruz.)


Söz konusu üçgenlerin yükseklikleri açıortaylardan dolayı Hüseyin Demir’in sorusundaki dikmelerle eşit olacağından, Hüseyin Demir’in sorusuna kolayca geçiş yapılabilir.