2021 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 02

[Metin Can Aydemir]

2.1
\[ \begin{cases}
      \dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{y+1}=2 \\
      \dfrac{4}{x-1}+\dfrac{6}{y+1}=14
   \end{cases}
\]
denklemini sağlayan $x$ değerinin $8$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 9 \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 13 \qquad\textbf{d)}\ 8 \qquad\textbf{e)}\ 6$

2.2
\[ \begin{cases}
      \dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{y+1}=2 \\
      \dfrac{4}{x-1}+\dfrac{5}{y+1}=11
   \end{cases}
\]
denklemini sağlayan $x$ değerinin $4$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 9 \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 13 \qquad\textbf{d)}\ 8 \qquad\textbf{e)}\ 6$

2.3
\[ \begin{cases}
      \dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{y+1}=2 \\
      \dfrac{4}{x-1}+\dfrac{5}{y+1}=10
   \end{cases}
\]
denklemini sağlayan $x$ değerinin $10$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 9 \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 13 \qquad\textbf{d)}\ 8 \qquad\textbf{e)}\ 6$

2.4
\[ \begin{cases}
      \dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{y+1}=3 \\
      \dfrac{4}{x-1}+\dfrac{5}{y+1}=10
   \end{cases}
\]
denklemini sağlayan $x$ değerinin $5$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 9 \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 13 \qquad\textbf{d)}\ 8 \qquad\textbf{e)}\ 6$

2.5
\[ \begin{cases}
      \dfrac{1}{x-1}+\dfrac{2}{y+1}=1 \\
      \dfrac{4}{x-1}+\dfrac{5}{y+1}=10
   \end{cases}
\]
denklemini sağlayan $x$ değerinin $5$ katı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 9 \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 13 \qquad\textbf{d)}\ 8 \qquad\textbf{e)}\ 6$

[Lokman Gökçe]

Yalnızca ilk sorularını çözelim. Diğerleri de benzer şekilde çözülüyor.

Çözüm 2.1 Yanıt: $\boxed{A}$

İlk denklemi $-3$ ile çarpalım.

$$\begin{cases}        \dfrac{-3}{x-1}+\dfrac{-6}{y+1}=-6 \\       \dfrac{4}{x-1}+\dfrac{6}{y+1}=14     \end{cases}$$

olup taraf tarafa toplanırsa $\dfrac{1}{x-1}=8$ olur. $8x - 8 = 1$ eşitliğinden $8x=9$ bulunur.