Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2021 Soru 6

[Lokman Gökçe]

$m$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $n^2 + 5n + 7$ ve $2n^2 + 3n + 5$ sayılarının ikisi de $m$ ile tam bölünecek şekilde bir $n$ pozitif tam sayısı varsa $m$ ye güzel sayı diyelim. Tüm güzel sayıların toplamı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 110
\qquad\textbf{b)}\ 120
\qquad\textbf{c)}\ 130
\qquad\textbf{d)}\ 140
\qquad\textbf{e)}\ 150
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{A}$

Bu iki ifadenin en büyük ortak böleni $d$ olsun. Euclid algoritması ile $d=(n^2 + 5n + 7, 2n^2 + 3n + 5) = (n^2 + 5n + 7, 7n + 9)$ yazılır.

$n^2 + 5n + 7 = dx$, $7n + 9 = dy$ olacak şekilde $x,y$ tam sayıları vardır. $7(n^2 + 5n + 7) - n(7n + 9) = dz$ olacak şekilde $z$ tam sayısı vardır. $26n + 49 = dz$ ve $7n + 9 = dy$ eşitliklerinden, $7(26n+49) - 26(7n+9)=dt$ olacak şekilde $t$ tam sayısı vardır. Böylece $dt  = 109$ olup $109$ asal sayı olduğundan $d\in \{ 1, 109\}$ elde edilir. Probleme göre $m\mid d$ olduğundan $m\in \{ 1, 109\}$ bulunur. $m$'nin alabileceği değerler toplamı $1+109 = 110$ olur.

$m$'nin bu değerlerini örneklendirmek gerekirse,
$n=1$ için $d=(13,10)=1$ olup $m=1$ dir.
$n=61$ için $7n+9 = 109\cdot 4$, $n^2 + 5n + 7 = 4033 = 109\cdot 37$ dir. $m=109$ örneği vardır.