Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 18

[Metin Can Aydemir]

$a$, $b$, $c$ ve $k$ pozitif tam sayılar olmak üzere, $a+b+c=939$ ve $a\cdot b\cdot c$ saysı $10^k$ ile tam bölünebiliyorsa, $k$ en fazla kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ 7
\qquad\textbf{d)}\ 8
\qquad\textbf{e)}\ 9
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Öncelikle $k\geq 8$ olamayacağını gösterelim. Aksini kabul edelim, $10^k$ sayısı $abc$'yi tam böldüğünden $5^8$ de $abc$'yi tam bölecektir. $a$, $b$ ve $c$ sayılarının hepsi birden $5$ ile bölünemez çünkü toplamı $5$ ile bölünmemektedir. $5^5>939$ olduğundan sayılardan herhangi birisinin bölündüğü $5$'in en büyük kuvveti $4$'ü aşamaz. Çarpım $5^8$ ile bölündüğünden sayılardan ikisi $5^4=625$ ile bölünmelidir. Fakat $625+625>939$ olduğundan bu mümkün değildir. Dolayısıyla $k\geq 8$ olamaz.

Şimdi $k=7$ için örnek durum bulalım. $(a,b,c)=(64,250,625)$ için $a+b+c=939$ ve $abc=10^7$'dir. Dolayısıyla cevap $7$'dir.

[DrLucky]

Çarpımları sabit sayıların toplamlarının en küçük değeri sayılar birbirine en yakınken olur.

Alınabilecek maksimum $k$ sayısını bize verecek $(a,b,c)$ üçlüleri $(a_1,b_1,c_1)$ olsun. $m$ bir pozitif tam sayı olmak üzere $a_1b_1c_1$ çarpımına $m\cdot 10^k$ diyelim.

$a_1=b_1=c_1$ için $a_1^3=m\cdot 10^k \geq 10^k$, $a_1\geq \sqrt[3]{10^k}$ ve toplamları $3\sqrt[3]{10^k} \leq 3a_1 ≤ 939$

Buradan $10^k \leq (313)^3 \leq 400^3= 81.000.000 < 10^8$ bulunur. Buradan da $k\leq 7$ bulunur. 

(NOT: LaTeX ile yazmayı maalesef bilmiyorum. Anlaşılabilirlik açısından sıkıntı varsa yöneticiler düzenleyebilir.)

[Metin Can Aydemir]

Çarpımlarının $10^k$ olduğunu değil $10^k$ ile bölündüğü söylenilmiş, yani $2\cdot 10^k$ gibi bir değer de olabilir. Yine de çözümünüzdeki bu pürüzü $abc\geq 10^k$ diyerek çözebiliriz galiba. Birkaç düzenlemeyle tamamen doğru bir çözüm olur bence.

[DrLucky]

Çarpımlarının $10^k$ olduğunu değil $10^k$ ile bölündüğü söylenilmiş, yani $2\cdot 10^k$ gibi bir değer de olabilir. Yine de çözümünüzdeki bu pürüzü $abc\geq 10^k$ diyerek çözebiliriz galiba. Birkaç düzenlemeyle tamamen doğru bir çözüm olur bence.

Çözümü düzenledim. Şu an pürüz kalmadı sanırım. Bir de LaTeX yazabilsem tam olacak.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Yanıt: $\boxed{C}$

AGO'dan $a+b+c=939\geq 3\sqrt[3]{abc}$  yani $abc\leq (319)^3<10^8$  elde edilir. $k<8$  olmalıdır. Nitekim $k=7$  durumu $(a,b,c)=(625,250,64)$  ve permütasyonlarında sağlanır.