Tübitak Lise 1. Aşama 2021 Soru 17

[Metin Can Aydemir]

Herhangi üçünden bir geniş açılı üçgen oluşturulabilen $n$ çubuk bulunuyorsa, $n$ en fazla kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Metin Can Aydemir]

Yanıt: $\boxed{B}$

Öncelikle $n\geq 5$ için çözüm olmadığını gösterelim. Aksini kabul edelim. En küçük $5$ parçayı ele alalım, bu parçaların uzunlukları $x_1\leq x_2\leq x_3\leq x_4\leq x_5$ olsun. $(x_1,x_2,x_5)$ bir üçgen belirttiği için $x_1+x_2>x_5$ olmalıdır. Ayrıca $$x_1^2+x_2^2<x_3^2$$ $$x_2^2+x_3^2<x_4^2$$ $$x_3^2+x_4^2<x_5^2$$ olacaktır. Yani $$(x_1+x_2)^2>x_5^2>x_3^2+x_4^2>2x_3^2+x_2^2>2x_1^2+3x_2^2$$ olacaktır. $2(x_1^2+x_2^2)\geq (x_1+x_2)^2$ olduğundan $2(x_1^2+x_2^2)>2x_1^2+3x_2^2$ elde edilir. Bu bir çelişkidir. $n\geq 5$ olamaz.

$n=4$ için örnek durum $(3,4,\sqrt{26},\sqrt{43})$ uzunluğundaki çubuklardır.

[DrLucky]

$n=4$ için örnek durum $(3,4,\sqrt{26},\sqrt{33})$ uzunluğundaki çubuklardır.

Çözüm için sağ olun. Sondaki $\sqrt{43}$ olacak sanırım

[Metin Can Aydemir]

$n=4$ için örnek durum $(3,4,\sqrt{26},\sqrt{33})$ uzunluğundaki çubuklardır.

Çözüm için sağ olun. Sondaki $\sqrt{43}$ olacak sanırım

Düzeltme için teşekkürler.