Tübitak Lise 1. Aşama 2020 Soru 22

[Eray]

$a_{1}=2$, $a_{2}=8$ ve her $n \geq 2$ için $a_{n+1}=2 a_{n}+4 n^{2} a_{n-1}$ koşullarını sağlayan bir $\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ pozitif tam sayı dizisi tanımlanıyor. $a_{2020}$ sayısını tam bölen en büyük asal sayı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 97
\qquad\textbf{b)}\ 101
\qquad\textbf{c)}\ 2011
\qquad\textbf{d)}\ 2017
\qquad\textbf{e)}\ 2027
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

Dizinin birkaç terimini hesaplayarak bir bağıntı bulmayı deneyelim. $a_3=48$, $a_4=384$, $a_5 = 3840$ olarak bulunur.

$a_2 = 2\cdot 4 = a_1 \cdot 4$
$a_3 = 8\cdot 6 = a_2 \cdot 6$
$a_4 = 48\cdot 8 = a_3 \cdot 8$
$a_5 = 384\cdot 10 = a_4 \cdot 10$

olduğundan $n\geq 2$ için
$$a_n = a_{n-1}\cdot 2n$$
olduğunu tahmin edebiliriz. Bu bağıntının doğru olup olmadığını $a_{n+1}=2 a_{n}+4 n^{2} a_{n-1}$ indirgeme bağıntısında yazarak görebiliriz. İndirgeme bağıntısı sağlandığından gerçekten $a_n = a_{n-1}\cdot 2n$  dir. Bu ifadede $n=2,3,\dots, n$ yazarak taraf tarafa çarparsak teleskopik çarpım sonucunda

$$ a_n = 2^n \cdot n! $$

elde edilir. $a_{2020}=2^{2020}\cdot 2020!$ olup $2020$ den küçük en büyük asal sayıyı bulmalıyız. Bu sayı asal $2017$ dir.