Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2018 Soru 05

[Metin Can Aydemir]

Bir $ABC$üçgeninin $[BC]$ ve $[AB]$ kenarları üzerinde sırasıyla $D$ ve $E$ noktaları alınıyor. $AD$ ve $CE$ doğrularının kesişimi $P$ olmak üzere, $|BE|=3|AE|$, $3|BD|=2|DC|$ ve $BPC$ üçgeninin alanı $9$ ise, $ABC$ üçgeninin alanı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 14 \qquad\textbf{b)}\ 15 \qquad\textbf{c)}\ 16 \qquad\textbf{d)}\ 20 \qquad\textbf{e)}\ 21$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$BP$'nin $AC$'yi kestiği nokta $F$ olsun. Ceva teoreminden $|FC|:|AF|=9:2$ bulunur. Bir kenarı ortak olan üçgenlerinin alanlarının oranı, o kenara ait yüksekliklerinin oranıdır. Bizim durumumuzda bu yüksekliklerin oranı da benzerlikten bize verilen oranlara eşit çıkacaktır. $$\frac{A(ABP)}{A(BPC)}=\frac{|AF|}{|FC|}=\frac{2}{9}\implies A(ABP)=\frac{2A(BPC)}{9}=2,$$ $$\frac{A(APC)}{A(BPC)}=\frac{|AE|}{|BC|}=\frac{1}{3}\implies A(APC)=\frac{A(BPC)}{3}=3$$ elde edilir. Dolayısıyla, $ABC$ üçgeninin alanı $2+3+9=14$'dür.