Yanıt: $\boxed{C}$
$T=3^n+5^n+7^n+11^n$ diyelim. $n=1$ için $T=3+5+7+11=26$ olup $13$'e bölünür. $n=2$ için $T=9+25+49+121$ olup $3$'e bölünür.
Şimdi $n$ pozitif tam sayı iken $T=3^n+5^n+7^n+11^n$ toplamının asla $5$'e, $8$'e bölünemediğini gösterelim.
Önce $T$ nin $5$ ile bölünemediğini gösterelim. $T \equiv 3^n+0+2^n+1 \pmod{5}$ tir. $n=1,2,3,4$ değerleri için sırasıyla $2^n \equiv 2,4,3,1 \pmod{5}$ ve $3^n \equiv 3,4,2,1 \pmod{5}$ dir. Dolayısıyla $n=1,2,3,4$ değerleri için sırasıyla $T \equiv 1,4,1,3 \pmod{5}$ olmaktadır. Yani $T$, $5$ ile bölünmüyor.
Şimdi de $T$ nin $8$ ile bölünemediğini gösterelim. $n=2k+1$ tek sayısı için $T=3^{2k+1}+5^{2k+1}+7^{2k+1}+11^{2k+1} \equiv 3 + 5 + 7 + 3 \pmod{8} \equiv 2 \pmod{8}$ olur. Yani $n$ tek sayı iken $T$, $8$ ile bölünemez. $n=2k$ çift sayısı için $T=3^{2k}+5^{2k}+7^{2k}+11^{2k} \equiv 1 + 1 + 1 + 1 \pmod{8} \equiv 4 \pmod{8}$ olur. Yani $n$ çift sayı iken de $T$, $8$ ile bölünemez.
Dolayısıyla $3,5,8,13$ sayılarından $2$ tanesinin $T$ toplamını bölmesini sağlayan $n$ pozitif tam sayıları vardır.
