Tübitak Lise 1. Aşama 1993 Soru 35

[Lokman Gökçe]

Verilen bir $(a_n)$ dizisinden her $n$ için $b_n=a_{n+1}-a_n$ şeklinde bir $(b_n)$ dizisi tanımlanıyor. $a_8=a_{40}=0$ ve her $n$ için $b_{n+1}-b_n = 2$ ise $a_1$ aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ 273 \qquad\textbf{b)}\ 301 \qquad\textbf{c)}\ 186 \qquad\textbf{d)}\ 403 \qquad\textbf{e)}\ 281$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

$a_{n}$ üzerinden bir indirgemeli dizi oluşturalım. $$b_{n+1}-b_{n}=a_{n+2}-2a_{n+1}+a_{n}=2$$ olur, fakat karakteristik denklemi çıkarabilmemiz için $2$'yi yok etmeliyiz. Bunun için $n$ yerine $n+1$ yazıp taraf tarafa çıkaracağız. $$\Rightarrow a_{n+3}-3a_{n+2}+3a_{n+1}+a_{n}=0$$ Bu indirgemeli dizinin karakteristik denklemi $$x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3=0$$ olur. Kökler çakışık olduğundan dizinin formülü $$a_{n}=An^2+Bn+C$$ şeklinde olmalıdır. (İndirgemeli diziler ve karakteristik denklemler ile ilgili ayrıntılı bilgi için Lokman Gökçe hocamın forumdaki pdf dosyasını inceleyebilirsiniz.)

$a_{8}=a_{40}=0$ olduğundan $a_{n}=A(n-8)(n-40)$ formatında olur, şimdi $A$'yı bulmak için $a_{n+2}-2a_{n+1}+a_{n}=2$ eşitliğinde yerine koyalım. Buradaki $n$'li terimler birbirini götürecek ve $A=1$ kalacaktır.

Dolayısıyla her $n$ için $a_{n}=(n-8)(n-40)$'dır. $n$ yerine $1$ yazarsak $a_{1}=273$ bulunur.