Tübitak Lise 1. Aşama 1993 Soru 29

[Lokman Gökçe]

$p,q$ pozitif tamsayılar ve $p=q+2$ ise, $p^2+q^2 \equiv x \pmod{72}$ denkliğini sağlayan en küçük pozitif $x$ tamsayısı aşağıdakilerden hangisidir?

$ \textbf{a)}\ 2 \qquad\textbf{b)}\ 34 \qquad\textbf{c)}\ 70 \qquad\textbf{d)}\ 1 \qquad\textbf{e)}\ 4 $

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{A}$

$p^2+q^2=p^2+(p-2)^2=2p^2-4p+4$ olur. $2p^2-4p+4 \equiv x \pmod{72}$ denkliğinde $x=1$ olamayacağı açıktır. Çünkü denkliğin tanımından, $2p^2-4p+2 - x =72n$ olacak biçimde bir $n$ tamsayısı vardır. Böylece $x$ in çift sayı olması gerektiğini anlarız.

$x>1$ olduğundan, $x=2$ için denkliğin çözümü var mıdır? Araştıralım:  $2p^2-4p+4 \equiv 2 \pmod{72}$ denkliğinden $72n=2p^2-4p+4 - 2$ yazılır. $36n=p^2 - 2p+1$ olur. $(p-1)^2\equiv 0 \pmod{36}$ denkliğini sağlayan $p$ pozitif tamsayıları vardır. Bir örnek $p=37$ dir. $q=39$ olur. Böylece en küçük pozitif değer $x=2$ olduğu anlaşılır.