İndirgemeli Dizi {çözüldü}

[Metin Can Aydemir]

Elemanları pozitif reel sayı olan $a_1,a_2,\cdots $ dizisinde $n>2$ için $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ sağlıyor. En az bir $m$ pozitif tamsayısı için $a_m,a_{m+1},a_{m+2}$ geometrik dizi oluşturan tüm dizileri bulunuz.

[Metin Can Aydemir]

$a_{m},a_{m+1},a_{m+2}$ geometrik dizi ise $a_{m+1}^2=a_m\cdot a_{m+2}$ ve dizinin genel formülünden $a_{m+2}=a_{m+1}+a_m$ sağlar. Bu ifadeyi düzenlersek, $$a_m\cdot a_{m+2}=a_m(a_{m+1}+a_m)=a_{m+1}^2\Rightarrow a_{m+1}^2-a_{m+1}\cdot a_m=a_m^2 \Rightarrow a_m^2=a_{m+1}(a_{m+1}-a_m)=a_{m+1}\cdot a_{m-1}$$ elde edilir. Buradan $a_{m-1},a_m,a_{m+1}$ terimleri de geometrik dizi oluşturur. Bu şekilde ilerlersek $a_1,a_2,a_3$ terimleri de geometrik dizi oluşturur. $a_2=a_1\cdot k$ dersek geometrik dizi olduğundan $a_3=a_1\cdot k^2$ olur. $$a_3=a_2+a_1\Rightarrow a_1(k^2-k-1)=0$$ olur. Terimler pozitif olduğundan $k^2-k-1=0$ olur. Buradan $k=\dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}$ bulunur fakat terimler pozitif olduğundan $k=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=\varphi$ olmalıdır. Buradan dizi, $a_n=t\varphi^n$ formatında bulunur.