Eşitsizlik

[ArtOfMathSolving]

$\dfrac{\ln x}{x^3-1} < \dfrac{x+1}{3(x^3+x)}$ eşitsizliğinin doğruluğunu gösteriniz.

[ArtOfMathSolving]

Eşitsizliği düzenleyelim. ${\ln x} < \dfrac{(x+1){(x^3-1)}}{3(x^3+x)} $.

Şimdi de $g(x)=x^4+x^3-x-1$, $f(x)=3x^2+3x$ olsun. Yukarıdaki eşitsizliğin her iki tarafının türevini alalım. $$\frac{1}{x}<\left( \frac{g(x)}{f(x)}\right)' \Rightarrow \frac{g'(x)f(x)-f'(x)g(x)}{f^2x} \Rightarrow \frac{4x^7+x^5+x^4+2x^3+2x^2+x+1}{3x^2(x^2+1)^2}>1$$
olduğunu göstermemiz gerekecek.

bu eşitsizliği düzenlersek, $$4 x^6-3x^5+x^4+5x^3+2 x^2-x+1>0$$ eşitsizliğini elde ederiz ki bu eşitsizlik $0,9$ noktasında yerel minumum noktasına sahiptir. İspat biter. $\square$

[LaçinCanAtış]

Eşitsizliği düzenleyelim. ${\ln x} < \dfrac{(x+1){(x^3-1)}}{3(x^3+x)} $.

Şimdi de $g(x)=x^4+x^3-x-1$, $f(x)=3x^2+3x$ olsun. Yukarıdaki eşitsizliğin her iki tarafının türevini alalım. $$\frac{1}{x}<\left( \frac{g(x)}{f(x)}\right)' \Rightarrow \frac{g'(x)f(x)-f'(x)g(x)}{f^2x} \Rightarrow \frac{4x^7+x^5+x^4+2x^3+2x^2+x+1}{3x^2(x^2+1)^2}>1$$
olduğunu göstermemiz gerekecek.

bu eşitsizliği düzenlersek, $$4 x^6-3x^5+x^4+5x^3+2 x^2-x+1>0$$ eşitsizliğini elde ederiz ki bu eşitsizlik $0,9$ noktasında yerel minumum noktasına sahiptir. İspat biter. $\square$

$lnx$ in tanımlı olabilmesi için $x>0$ olması gerekmez midir?

[ArtOfMathSolving]

Soru $Green$ $Book$ adlı bir kitaptan, (2. Etkinlik olmalı) tabiki $x>0,x\not=1$ verilmiş, yazmaya üşenmiştim.

[LaçinCanAtış]

Soru $Green$ $Book$ adlı bir kitaptan, (2. Etkinlik olmalı) tabiki $x>0,x\not=1$ verilmiş, yazmaya üşenmiştim.

o halde fonksiyonun 0 da yerel minimumu olamaz,çünkü fonksiyon tanımlı değildir?

[ArtOfMathSolving]

$0,9$ dan kastım, sayının nümerik değeriydi. Yanlış mıyım?

[LaçinCanAtış]

$0,9$ dan kastım, sayının nümerik değeriydi. Yanlış mıyım?

0,9 u ben x=0,y=9 anladım :D çok özür dilerim.

[ArtOfMathSolving]

Önemli değil, bir yanlışım olduysa veya kafanıza bir yer takılmışsa lütfen belirtin, konu hakkında beyin fırtınası yapmak güzel bir deneyim oluyor.

[LaçinCanAtış]

Önemli değil, bir yanlışım olduysa veya kafanıza bir yer takılmışsa lütfen belirtin, konu hakkında beyin fırtınası yapmak güzel bir deneyim oluyor.

Esasen fonksiyonun yerel minimum noktasının cebirsel olarak bulunmasının da ispatını görmek isterdim

[ArtOfMathSolving]

Şuan müsait değilim, çözüm girerken wolframdan hesaplatmıştım, müsait olunca hemen ekleyeyim.

[ArtOfMathSolving]

$f(x)=4 x^6-3x^5+x^4+5x^3+2 x^2-x+1$ fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarını bulacağız. İlk önce küçük değerler için fonksiyonun grafiğini çizelim.



Görüldüğü gibi fonksiyonun kolları yukarı doğru, yani bir yerel minimum noktası mevcut. $\Rightarrow f'(x)=24x^5-15x^4+4x^3+15x^2+4x-1=0$

Şimdi bu denklemin köklerini bulmak zor fakat kök teoremleri ile bu köklerden $3$ ü pozitif $2$ si negatif, yalnızca $1$ tanesinin reel geri kalanlarının complex olduğunu görebiliriz. Köklerin yaklaşık değerlerini bilgisayar yardımıyla bulabiliyoruz.

$
x = 0.156277$

$x = -0.450911-0.206891 i$

$x = -0.450911+0.206891 i$

$x = 0.685272-0.783377 i
$

Cebirsel olarak tüm $5.$ derece denklemlerde işe yarayan formül bulunamıyor. Evariste Galois ve Abel bunu kanıtladı, fakat $5.$ derece bir denklem $x^5+px+q=0$ şekline gelebiliyor. Öğrendiğim kadarıyla bu denklemleri çözmek için bazı fonksiyonlar kullanılabiliyormuş ( Jacobi, Teta, Beta,...) insanlar tam anlamıyla denklemlere hakim değil, şuanki matematiğimiz buna yetmiyor, belki bulamadığımız sayı sistemleri vardır kim bilir