Analiz Sorusu $4$ {çözüldü}

[MATSEVER 27]

Farklı $x,y$ sayıları $x^3-x+1=y^3-y+1=0$ eşitliğini sağlasın. Buna göre $xy(x+y)$ kaçtır?

[taftazani44]

x³-x+1=y³-y+1 ise x³-y³=x-y
(x-y)(x²+x-y+y²)=(x-y)
x²+xy+y²=1
(x+y)²-xy=1 [x+y=a ve xy=b diyelim]
Ayrıca x³-x+1=0 ve y³-y+1=0 eşitlikleri taraf tarafa toplanırsa
a(a²-3b)-a+2=0 elde edilir.Yukarıda elde edilen a²=b+1 yerine yazılırsa
a(b+1-3b)-a+2=0
ab+a-3ab-a+2=0
-2ab=-2 ve ab=1 olur.