eşitsizlik sorusu

[matematik fatihi]

$abc \ge 1$ koşulunu sağlayan tüm $a,b,c$ pozitif gerçel sayıları için;
$$(3a+\dfrac{4}{a+1})(3b+\dfrac{4}{b+1})(3c+\dfrac{4}{c+1}) \ge 125$$
olduğunu gösteriniz.

[MATSEVER 27]

$A.G.O$ dan $a+1+\dfrac{4}{a+1} \ge 4$ ve $3a+\dfrac{4}{a+1} \ge 2a+3$ olur. $A.G.O$ dan $a+a+1+1+1 \ge 5 \sqrt[5]{a^2}$ dir. Çarpılırsa $(3a+\dfrac{4}{a+1})(3b+\dfrac{4}{b+1})(3c+\dfrac{4}{c+1}) \ge 125 \sqrt[5]{a^2b^2c^2} \ge 125$ olur ve ispat biter. Eşitlik $a=b=c=1$ için sağlanır.